Para factorizar el polinomio [tex]\( x^5 + x^3 y^2 + x y^4 + x^4 + x^2 y^2 + y^4 \)[/tex], seguimos los pasos siguientes:
1. Identificamos los términos del polinomio: [tex]\( x^5, x^3 y^2, x y^4, x^4, x^2 y^2, y^4 \)[/tex].
2. Buscamos una forma de agrupar y factorizar esos términos.
3. Ya que el polinomio es una suma de términos cuyo grado total (sumando los exponentes de [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex]) es siempre par, indica que puede haber algún patrón que nos permita factorizarlo de manera más simple.
4. Observamos que se puede factorizar de la forma:
[tex]\[
(x + 1) \left(x^2 - xy + y^2\right) \left(x^2 + xy + y^2\right)
\][/tex]
Esta es una factorización típica de ciertos polinomios homogéneos y simétricos. Comparando con las opciones dadas:
a) [tex]\( (x+1)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right) \)[/tex]
b) [tex]\( (x-1)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right) \)[/tex]
c) [tex]\( (x+1)\left(x^2+xy-y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right) \)[/tex]
d) [tex]\( (x-1)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy-y^2\right) \)[/tex]
La correcta es la opción a):
[tex]\[
(x + 1) \left(x^2 + xy + y^2\right) \left(x^2 - xy + y^2\right)
\][/tex]
Por lo tanto, la factorización de [tex]\( x^5 + x^3 y^2 + x y^4 + x^4 + x^2 y^2 + y^4 \)[/tex] es [tex]\( (x + 1) \left(x^2 + xy + y^2\right) \left(x^2 - xy + y^2\right) \)[/tex], que corresponde a la opción a).
