Claro, ¡vamos a resolver el problema paso a paso!
1. Primero, encontramos el radio de la primera esfera:
Sabemos que el área de la primera esfera es [tex]\( 324 \pi \)[/tex] unidades cuadradas. La fórmula para el área de una superficie esférica es:
[tex]\[
A = 4 \pi r^2
\][/tex]
Dado que [tex]\( A = 324 \pi \)[/tex]:
[tex]\[
4 \pi r^2 = 324 \pi
\][/tex]
Dividimos ambos lados de la ecuación por [tex]\( 4 \pi \)[/tex]:
[tex]\[
r^2 = \frac{324 \pi}{4 \pi} = \frac{324}{4} = 81
\][/tex]
Así que:
[tex]\[
r = \sqrt{81} = 9
\][/tex]
Entonces, el radio [tex]\( r_1 \)[/tex] de la primera esfera es [tex]\( 9 \)[/tex] unidades.
2. Luego, encontramos el radio de la segunda esfera:
Nos dicen que el radio de la segunda esfera es el doble del radio de la primera esfera. Por lo tanto:
[tex]\[
r_2 = 2r_1 = 2 \times 9 = 18
\][/tex]
Así que el radio [tex]\( r_2 \)[/tex] de la segunda esfera es [tex]\( 18 \)[/tex] unidades.
3. Finalmente, calculamos el volumen de la segunda esfera:
La fórmula para el volumen de una esfera es:
[tex]\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
\][/tex]
Sustituyendo el radio de la segunda esfera [tex]\( r_2 \)[/tex]:
[tex]\[
V_2 = \frac{4}{3} \pi (18)^3
\][/tex]
Calculamos [tex]\( (18)^3 \)[/tex]:
[tex]\[
18^3 = 18 \times 18 \times 18 = 324 \times 18 = 5832
\][/tex]
Ahora multiplicamos por [tex]\( \frac{4}{3} \pi \)[/tex]:
[tex]\[
V_2 = \frac{4}{3} \pi \times 5832 = \frac{4 \times 5832 \pi}{3} = \frac{23328 \pi}{3} = 7776 \pi
\][/tex]
Aproximamos con el valor de [tex]\( \pi \)[/tex]:
[tex]\[
V_2 \approx 7776 \times 3.141592653589793 = 24429.02447431423
\][/tex]
Entonces, el volumen de la segunda esfera cuyo radio es el doble del radio de la primera esfera es aproximadamente [tex]\( 24429.02447431423 \)[/tex] unidades cúbicas.
