Para resolver esta pregunta, debemos asegurar que ambos lados de la ecuación [tex]\(\frac{F}{a^2} = K A^x B^y\)[/tex] tienen las mismas dimensiones.
Dimensiones de las cantidades:
1. Fuerza (F): La dimensión de la fuerza es [tex]\([M][L][T^{-2}]\)[/tex].
2. Área (a): La dimensión del área es [tex]\([L^2]\)[/tex].
3. Constante (K): K es una constante dimensional pura, por lo tanto es adimensional.
4. Frecuencia (B): La dimensión de la frecuencia es [tex]\([T^{-1}]\)[/tex].
5. Densidad (A): La dimensión de la densidad es [tex]\([M][L^{-3}]\)[/tex].
Paso 1: Dimensiones del lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\(\frac{F}{a^2}\)[/tex]
Sustituir las dimensiones:
[tex]\[
\frac{[M][L][T^{-2}]}{[L]^2} = [M][L][T^{-2}][L^{-2}] = [M][L^{-1}][T^{-2}]
\][/tex]
Paso 2: Dimensiones del lado derecho de la ecuación:
[tex]\(K A^x B^y\)[/tex]
Sustituir las dimensiones:
[tex]\[
K \cdot ([M][L^{-3}])^x \cdot ([T^{-1}])^y
\][/tex]
Ya que [tex]\(K\)[/tex] es adimensional, no afecta las dimensiones, por lo que:
[tex]\[
[M^x][L^{-3x}][T^{-y}]
\][/tex]
Paso 3: Igualar dimensiones de ambos lados:
[tex]\[[M][L^{-1}][T^{-2}] = [M^x][L^{-3x}][T^{-y}]\][/tex]
Comparar las dimensiones de cada elemento:
- Dimensión de masa ([tex]\[M\][/tex]):
[tex]\[ 1 = x \Rightarrow x = 1 \][/tex]
- Dimensión de longitud ([tex]\[L\][/tex]):
[tex]\[ -1 = -3x \Rightarrow -1 = -3(1) \Rightarrow -1 = -3 \boxed{\text{Verificado}}\][/tex]
- Dimensión de tiempo ([tex]\[T\][/tex]):
[tex]\[ -2 = -y \Rightarrow y = 2 \][/tex]
Paso 4: Hallar [tex]\(x + y\)[/tex]:
[tex]\[x + y = 1 + 2 = 3 \][/tex]
La respuesta correcta es:
c. 3
