Para abordar este problema, primero debemos reorganizar el polinomio dado en términos ascendentes según la variable [tex]\(x\)[/tex]. Luego, determinaremos si el polinomio es completo (es decir, contiene todos los términos posibles de cada grado en [tex]\(x\)[/tex] hasta el grado más alto). Finalmente, identificaremos el término independiente (el término sin variables [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]).
### 1. Polinomio dado:
[tex]\[
x^4 y - 7 x^2 y^3 - 5 x^5 + 6 x y^4 + y^5 - x^3 y^2 + 5
\][/tex]
### 2. Ordenar de manera ascendente con respecto a [tex]\(x\)[/tex]:
#### Reorganización manual de los términos:
- Término independiente: [tex]\(5\)[/tex]
- Grado 0 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\( + y^5\)[/tex]
- Grado 1 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\( + 6xy^4\)[/tex]
- Grado 2 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\( - 7x^2 y^3\)[/tex]
- Grado 3 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\( - x^3 y^2\)[/tex]
- Grado 4 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\( + x^4 y\)[/tex]
- Grado 5 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\( - 5x^5\)[/tex]
Reorganizado, el polinomio en términos crecientes de [tex]\(x\)[/tex] es:
[tex]\[
5 + y^5 + 6 x y^4 - 7 x^2 y^3 - x^3 y^2 + x^4 y - 5 x^5
\][/tex]
### 3. Determinar si el polinomio es completo:
Un polinomio en variables [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex] es completo si contiene todos los términos que incluyen desde el grado 0 hasta el más alto presente en [tex]\(x\)[/tex]. Observamos:
- Grado 0 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(5\)[/tex], [tex]\(y^5\)[/tex]
- Grado 1 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(6 x y^4\)[/tex]
- Grado 2 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(-7 x^2 y^3\)[/tex]
- Grado 3 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(-x^3 y^2\)[/tex]
- Grado 4 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(x^4 y\)[/tex]
- Grado 5 en [tex]\(x\)[/tex]: [tex]\(-5 x^5\)[/tex]
Notamos que faltan algunos términos con ciertos grados completos en [tex]\(x\)[/tex]:
- Falta [tex]\(x, x^2, x^3, x^4\)[/tex] sin factores de [tex]\(y\)[/tex] como [tex]\(x, x^2, x^3, x^4\)[/tex].
- Completo sería: todos los términos [tex]\(x^5, x^4, x^3, x^2, x, x^0 \times y^0, ..., y^{\text{max}}\)[/tex]
Por lo tanto, el polinomio no es completo.
### 4. Término independiente:
El término independiente es aquel que no tiene las variables [tex]\(x\)[/tex] ni [tex]\(y\)[/tex]. En este polinomio, el término independiente es:
[tex]\[
\underline{5}
\][/tex]
### Resumen:
- Polinomio ordenado de manera ascendente con respecto a [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
5 + y^5 + 6x y^4 - 7x^2 y^3 - x^3 y^2 + x^4 y - 5x^5
\][/tex]
- El polinomio no es completo.
- El término independiente es [tex]\(\underline{5}\)[/tex].
