¡Claro! Vamos a resolver el problema paso a paso.
Dada la ecuación de la recta [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex]:
1. Intersección con el eje Y:
Para encontrar el punto donde la recta corta el eje Y, establecemos [tex]\( x = 0 \)[/tex].
[tex]\[
y = 2(0) + 1 = 1
\][/tex]
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje Y es [tex]\( (0, 1) \)[/tex].
2. Intersección con el eje X:
Para encontrar el punto donde la recta corta el eje X, establecemos [tex]\( y = 0 \)[/tex].
[tex]\[
0 = 2x + 1 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}
\][/tex]
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje X es [tex]\( \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \)[/tex].
3. Cálculo de la distancia entre los puntos de intersección:
Identificamos los puntos de intersección como [tex]\( (0, 1) \)[/tex] y [tex]\( \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \)[/tex].
Utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[
\text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
\text{Distancia} = \sqrt{\left( -\frac{1}{2} - 0 \right)^2 + (0 - 1)^2}
\][/tex]
[tex]\[
= \sqrt{\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + (-1)^2}
\][/tex]
[tex]\[
= \sqrt{\frac{1}{4} + 1}
\][/tex]
[tex]\[
= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}
\][/tex]
[tex]\[
= \sqrt{\frac{5}{4}}
\][/tex]
[tex]\[
= \sqrt{1.25} \approx 1.118033988749895
\][/tex]
La distancia entre los dos puntos es aproximadamente [tex]\(1.118\)[/tex].
4. Dibujo de la recta:
Para dibujar la recta, identificamos los puntos de intersección con los ejes y trazamos la línea que pasa por estos puntos.
- El punto de intersección con el eje Y es [tex]\( (0, 1) \)[/tex].
- El punto de intersección con el eje X es [tex]\( \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \)[/tex].
Al conectar estos puntos, tenemos la recta [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex].
Aquí está una ilustración básica del gráfico:
[tex]\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[ultra thin, gray!30] (-1.5,-1.5) grid (1.5,1.5);
\draw[<->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$};
\draw[<->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {$y$};
% La recta y = 2x + 1
\draw[thick, blue] (-1.5, -2) -- (1.5, 4);
% Puntos de intersección
\filldraw[black] (0, 1) circle (2pt) node[anchor=west] {$(0, 1)$};
\filldraw[black] (-0.5, 0) circle (2pt) node[anchor=north] {$(-\frac{1}{2}, 0)$};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\][/tex]
En esta gráfica, puedes observar los puntos [tex]\((0, 1)\)[/tex] y [tex]\(\left( -\frac{1}{2}, 0 \right)\)[/tex] donde la línea corta los ejes Y y X respectivamente, y la trayectoria de la reta y = 2x + 1.
¡Espero que esta explicación te haya sido útil!
