Para resolver la ecuación [tex]\(f(x) = f\left(\frac{x+8}{x-1}\right)\)[/tex], con la función definida como [tex]\(f(x) = x^2 - 12x + 3\)[/tex]:
Parte a)
Queremos encontrar dos raíces de la ecuación en el intervalo [tex]\([-5, 5]\)[/tex]. Truncando el problema a este intervalo y determinando estas raíces:
Dentro del intervalo [tex]\([-5, 5]\)[/tex], tenemos que:
1. Una de las raíces es [tex]\(x = -2\)[/tex].
2. Otra raíz es [tex]\(x = 2\)[/tex].
Estas soluciones caen dentro del intervalo y cumplen la ecuación.
Parte b)
Para descubrir las raíces de la ecuación para [tex]\(f(x) = x^2 - 12x + 3\)[/tex], igualamos la función a sí misma con el argumento transformado:
[tex]\[x^2 - 12x + 3 = \left(\frac{x+8}{x-1}\right)^2 - 12\left(\frac{x+8}{x-1}\right) + 3\][/tex]
Solucionando la ecuación, obtenemos las siguientes raíces:
Las raíces, que son las soluciones para el valor de [tex]\(x\)[/tex], son:
1. [tex]\(x = -2\)[/tex]
2. [tex]\(x = 2\)[/tex]
3. [tex]\(x = 4\)[/tex]
4. [tex]\(x = 10\)[/tex]
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son [tex]\(-2\)[/tex], [tex]\(2\)[/tex], [tex]\(4\)[/tex] y [tex]\(10\)[/tex].
