Para hallar lo que debe sumarse o restarse al segundo término de cada trinomio para que sea un cuadrado perfecto, seguimos los siguientes pasos:
### 1. [tex]\( \pi^4 + 2\pi^3 + 9 \)[/tex]
Vamos a buscar completar el cuadrado perfecto.
- La expresión original es: [tex]\( \pi^4 + 2\pi^3 + 9 \)[/tex]
- Rescribimos la expresión como: [tex]\( \pi^4 + 2\pi^3 + (2\pi^2)^2 - (2\pi^2)^2 + 9 \)[/tex]
### 2. [tex]\(- 4x^2 + 12x + 25\)[/tex]
Debemos buscar completar el cuadrado perfecto.
- La expresión original es: [tex]\(- 4x^2 + 12x + 25\)[/tex]
- Rescribimos la expresión como:
[tex]\[ - 4\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 25 \][/tex]
### 3. [tex]\( 9x^4 - 3x^2 + 1 \)[/tex]
Buscamos completar el cuadrado perfecto.
- La expresión original es: [tex]\( 9x^4 - 3x^2 + 1 \)[/tex]
- Rescribimos la expresión como:
[tex]\[ 9 \left((x^2)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)x^2 + \left(\left(\frac{1}{6}\right)^2 - \left(\frac{1}{6}\right)^2\right)\right) + 1 \][/tex]
### 4. [tex]\(d + 5c^2 + 4\)[/tex]
Aquí vemos que no es necesario hacer ningún ajuste, ya que la expresión es completa.
- La expresión original y modificada es: [tex]\( d + 5c^2 + 4 \)[/tex]
### 5. [tex]\(y + 3y^2 + 36\)[/tex]
Para completar el cuadrado perfecto:
- La expresión original es: [tex]\( y + 3y^2 + 36 \)[/tex]
- Rescribimos la expresión como:
[tex]\[ \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(y^2 + \left(\frac{3}{3}\right)y + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 36 \][/tex]
### 6. [tex]\( - m' - 6m' + 16 \)[/tex]
Debemos completar el cuadrado perfecto.
- La expresión original es: [tex]\( -m' - 6m' + 16 \)[/tex]
- Rescribimos la expresión como:
[tex]\[ - \left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \right) + 16 \][/tex]
Entonces, la lista detallada de cómo modificar los trinomios para convertirlos en cuadrados perfectos es:
1. [tex]\( \pi^4 + 2\pi^3 + (2\pi^2)^2 - (2\pi^2)^2 + 9 \)[/tex]
2. [tex]\(- 4(x^2 - 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2)) + 25 \)[/tex]
3. [tex]\(9((x^2)^2 - (1/3)x^2 + ((1/6)^2 - (1/6)^2)) + 1 \)[/tex]
4. [tex]\( (d + 5c^2 + 4) \)[/tex]
5. [tex]\( (3/2)^2(y^2 + (3/3)y + (3/2)^2 - (3/2)^2) + 36 \)[/tex]
6. [tex]\(- (x^2 - 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2) + 16 \)[/tex]
Este procedimiento coloca cada trinomio en una forma que puede verse como un cuadrado perfecto.
