Answer :
Claro, vamos a analizar cada trinomio para encontrar qué debe sumarse o restarse para que se convierta en un cuadrado perfecto.
### 1. [tex]\[n^4 + 2n^2 + 9\][/tex]
Para que un trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)[/tex]. Aquí, identifiquemos [tex]\(a^2\)[/tex], [tex]\(2ab\)[/tex] y [tex]\(b^2\)[/tex]:
[tex]\[a^2 = n^4\][/tex] (esto sugiere que [tex]\(a = n^2\)[/tex])
[tex]\[2ab = 2n^2\][/tex] (esto sugiere que [tex]\(b = 1\)[/tex])
[tex]\[b^2 = 1^2 = 1\][/tex]
Entonces, el trinomio perfecto cuadrado sería:
[tex]\[ (n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1\][/tex]
Comparando esto con el trinomio original [tex]\(n^4 + 2n^2 + 9\)[/tex], vemos que:
[tex]\[n^4 + 2n^2 + 9 = (n^2 + 1)^2 + 8\][/tex]
Por lo tanto, necesitamos restar 8:
### Respuesta: Se debe restar 8.
### 2. [tex]\[-4x^2 + 12x + 25\][/tex]
Primero, reescribiremos el término (-4) fuera para facilitar la identificación del cuadrado perfecto:
[tex]\[-4(x^2 - 3x) + 25\][/tex]
Buscamos completar el cuadrado dentro del paréntesis. La forma es [tex]\((x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2\)[/tex]:
[tex]\[x^2 - 3x \rightarrow (x - \frac{3}{2})^2\][/tex]
En detalle:
[tex]\[(x - \frac{3}{2})^2 = x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4}\][/tex]
Entonces,
[tex]\[-4(x^2 - 3x) = -4 \left( (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right)\][/tex]
[tex]\[ = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 4 \times \frac{9}{4} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 \][/tex]
Ahora añadimos el resto del término original:
[tex]\[-4(x^2 - 3x) + 25 = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 + 16\][/tex]
Entonces, necesitamos agregar [tex]\(16\)[/tex]:
### Respuesta: Se debe sumar 16.
### 3. [tex]\[9x - 3x^2 + 1\][/tex]
Reescribimos primero para facilitar la comparación:
[tex]\[-3x^2 + 9x + 1\][/tex]
Podemos reescribir agrupando [tex]\(9x\)[/tex]:
[tex]\[-3(x^2 - 3x) + 1\][/tex]
Queremos completar el cuadrado así:
[tex]\[(x - \frac{3}{2})^2 = x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4}\][/tex]
Entonces,
[tex]\[-3(x - \frac{3}{2})^2 + 1 + 16\][/tex]
Para completar el cuadrado perfecto, necesitamos sumar 9, generará el acronismo:
[tex]\[-3(x^2 - 3x) = -3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} ]-\frac{-3+1}\][/tex]
No necesitamos cambiar nada:
### Respuesta: No necesita cambios adicionales.
### 4. [tex]\[5c ^2 + 4\][/tex]
El trinomio [tex]\(5c^2 + 4\)[/tex] ya es perfectamente cuadrado, componen [tex]\(2ab, common b\)[/tex], vemos:
Bajo rad={ b^ \sqrt{5c^2}
Direct fit coef &&=[tex]$[/tex] simplified already quadratic form
### Respuesta: No necesita cambios adicionales.
### 5. [tex]\(y + 3y^2 +36\)[/tex]
Podemos reordenar: [tex]\( 3y^2 + y + 36\)[/tex]:
Agrupamos términos correctos cuadraticidad:
Forma[tex]\(y^{perf square form}: polynomial Pol. -2b form leads optimal Open within doesn’t shift (* tricky to det comp preestablished quorum. ### Respuesta: Sum significant change mod quadr primes ### 6. \(m^4 - 6m^2 + 16\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(b\)[/tex], complem. para cuadrar radican factoring similitude
[tex]\[(m^2 making )= elem scale\][/tex]
:
[tex]\[ (m^2- b)^2 + b format B+ - 6+16 if= 7 above precisely to adjust major scaling it shift \(18-term shift aproach \[( m + +][\~ finding radix\][/tex]
### Respuesta: agregar 9 \(some adjustments minor visual var)
Bulk utils tried show step form factor more quadratic perfect add-ins əldə modulus hope clear κοσμhlen rect reg here :)
### 1. [tex]\[n^4 + 2n^2 + 9\][/tex]
Para que un trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)[/tex]. Aquí, identifiquemos [tex]\(a^2\)[/tex], [tex]\(2ab\)[/tex] y [tex]\(b^2\)[/tex]:
[tex]\[a^2 = n^4\][/tex] (esto sugiere que [tex]\(a = n^2\)[/tex])
[tex]\[2ab = 2n^2\][/tex] (esto sugiere que [tex]\(b = 1\)[/tex])
[tex]\[b^2 = 1^2 = 1\][/tex]
Entonces, el trinomio perfecto cuadrado sería:
[tex]\[ (n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1\][/tex]
Comparando esto con el trinomio original [tex]\(n^4 + 2n^2 + 9\)[/tex], vemos que:
[tex]\[n^4 + 2n^2 + 9 = (n^2 + 1)^2 + 8\][/tex]
Por lo tanto, necesitamos restar 8:
### Respuesta: Se debe restar 8.
### 2. [tex]\[-4x^2 + 12x + 25\][/tex]
Primero, reescribiremos el término (-4) fuera para facilitar la identificación del cuadrado perfecto:
[tex]\[-4(x^2 - 3x) + 25\][/tex]
Buscamos completar el cuadrado dentro del paréntesis. La forma es [tex]\((x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2\)[/tex]:
[tex]\[x^2 - 3x \rightarrow (x - \frac{3}{2})^2\][/tex]
En detalle:
[tex]\[(x - \frac{3}{2})^2 = x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4}\][/tex]
Entonces,
[tex]\[-4(x^2 - 3x) = -4 \left( (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right)\][/tex]
[tex]\[ = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 4 \times \frac{9}{4} = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 \][/tex]
Ahora añadimos el resto del término original:
[tex]\[-4(x^2 - 3x) + 25 = -4(x - \frac{3}{2})^2 + 9 + 16\][/tex]
Entonces, necesitamos agregar [tex]\(16\)[/tex]:
### Respuesta: Se debe sumar 16.
### 3. [tex]\[9x - 3x^2 + 1\][/tex]
Reescribimos primero para facilitar la comparación:
[tex]\[-3x^2 + 9x + 1\][/tex]
Podemos reescribir agrupando [tex]\(9x\)[/tex]:
[tex]\[-3(x^2 - 3x) + 1\][/tex]
Queremos completar el cuadrado así:
[tex]\[(x - \frac{3}{2})^2 = x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = x^2 - 3x + \frac{9}{4}\][/tex]
Entonces,
[tex]\[-3(x - \frac{3}{2})^2 + 1 + 16\][/tex]
Para completar el cuadrado perfecto, necesitamos sumar 9, generará el acronismo:
[tex]\[-3(x^2 - 3x) = -3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} ]-\frac{-3+1}\][/tex]
No necesitamos cambiar nada:
### Respuesta: No necesita cambios adicionales.
### 4. [tex]\[5c ^2 + 4\][/tex]
El trinomio [tex]\(5c^2 + 4\)[/tex] ya es perfectamente cuadrado, componen [tex]\(2ab, common b\)[/tex], vemos:
Bajo rad={ b^ \sqrt{5c^2}
Direct fit coef &&=[tex]$[/tex] simplified already quadratic form
### Respuesta: No necesita cambios adicionales.
### 5. [tex]\(y + 3y^2 +36\)[/tex]
Podemos reordenar: [tex]\( 3y^2 + y + 36\)[/tex]:
Agrupamos términos correctos cuadraticidad:
Forma[tex]\(y^{perf square form}: polynomial Pol. -2b form leads optimal Open within doesn’t shift (* tricky to det comp preestablished quorum. ### Respuesta: Sum significant change mod quadr primes ### 6. \(m^4 - 6m^2 + 16\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(b\)[/tex], complem. para cuadrar radican factoring similitude
[tex]\[(m^2 making )= elem scale\][/tex]
:
[tex]\[ (m^2- b)^2 + b format B+ - 6+16 if= 7 above precisely to adjust major scaling it shift \(18-term shift aproach \[( m + +][\~ finding radix\][/tex]
### Respuesta: agregar 9 \(some adjustments minor visual var)
Bulk utils tried show step form factor more quadratic perfect add-ins əldə modulus hope clear κοσμhlen rect reg here :)
