Answer :
Para encontrar el centro y el radio de cada una de las ecuaciones de circunferencia dadas, procedemos de la siguiente manera:
### Primera Ecuación: [tex]\((x-9)^2 + (y+5)^2 = 4.9\)[/tex]
1. Centro de la circunferencia: La forma general de la ecuación de una circunferencia es [tex]\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)[/tex], donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el centro.
- En esta ecuación: [tex]\(h = 9\)[/tex] y [tex]\(k = -5\)[/tex].
- Por lo tanto, el centro de esta circunferencia es [tex]\((9, -5)\)[/tex].
2. Radio de la circunferencia: El término en el lado derecho de la ecuación, [tex]\(4.9\)[/tex], representa [tex]\(r^2\)[/tex], donde [tex]\(r\)[/tex] es el radio.
- [tex]\(r = \sqrt{4.9}\)[/tex].
- Calculando, [tex]\(r ≈ 2.214\)[/tex].
3. Conclusión para la primera ecuación: El centro es [tex]\((9, -5)\)[/tex] y el radio es aproximadamente [tex]\(2.214\)[/tex].
### Segunda Ecuación: [tex]\((y-5)^2 + \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = 81\)[/tex]
1. Centro de la circunferencia: Aquí la ecuación está escrita con los términos de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] invertidos, pero la forma general sigue siendo la misma.
- El término asociado con [tex]\(x\)[/tex] es [tex]\(\left(x - \frac{2}{3}\right)^2\)[/tex], indicando que [tex]\(h = \frac{2}{3}\)[/tex].
- El término asociado con [tex]\(y\)[/tex] es [tex]\((y-5)^2\)[/tex], indicando que [tex]\(k = 5\)[/tex].
- Por lo tanto, el centro de esta circunferencia es [tex]\(\left(\frac{2}{3}, 5\right)\)[/tex].
2. Radio de la circunferencia: El término en el lado derecho de la ecuación, [tex]\(81\)[/tex], representa [tex]\(r^2\)[/tex].
- [tex]\(r = \sqrt{81}\)[/tex].
- Calculando, [tex]\(r = 9\)[/tex].
3. Conclusión para la segunda ecuación: El centro es [tex]\(\left(\frac{2}{3}, 5\right)\)[/tex] y el radio es [tex]\(9\)[/tex].
### Tercera Ecuación: [tex]\((x-h)^2 + (y+1)^2 = 40\)[/tex]
1. Centro de la circunferencia:
- El término [tex]\((x-h)^2\)[/tex] indica que el valor de [tex]\(h\)[/tex] es el centro para [tex]\(x\)[/tex].
- El término [tex]\((y+1)^2\)[/tex] indica que [tex]\(k = -1\)[/tex].
- Por lo tanto, el centro de esta circunferencia es [tex]\((h, -1)\)[/tex], sin un valor específico para [tex]\(h\)[/tex].
2. Radio de la circunferencia: El término en el lado derecho de la ecuación, [tex]\(40\)[/tex], representa [tex]\(r^2\)[/tex].
- [tex]\(r = \sqrt{40}\)[/tex].
- Calculando, [tex]\(r ≈ 6.325\)[/tex].
3. Conclusión para la tercera ecuación: El centro es [tex]\((h, -1)\)[/tex] y el radio es aproximadamente [tex]\(6.325\)[/tex].
### Resumen Final
Las soluciones detalladas para las ecuaciones de la circunferencia son:
1. Para la ecuación [tex]\((x-9)^2 + (y+5)^2 = 4.9\)[/tex]:
- Centro: [tex]\((9, -5)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(2.214\)[/tex]
2. Para la ecuación [tex]\((y-5)^2 + \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = 81\)[/tex]:
- Centro: [tex]\(\left(\frac{2}{3}, 5\right)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(9\)[/tex]
3. Para la ecuación [tex]\((x-h)^2 + (y+1)^2 = 40\)[/tex]:
- Centro: [tex]\((h, -1)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(6.325\)[/tex]
### Primera Ecuación: [tex]\((x-9)^2 + (y+5)^2 = 4.9\)[/tex]
1. Centro de la circunferencia: La forma general de la ecuación de una circunferencia es [tex]\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)[/tex], donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el centro.
- En esta ecuación: [tex]\(h = 9\)[/tex] y [tex]\(k = -5\)[/tex].
- Por lo tanto, el centro de esta circunferencia es [tex]\((9, -5)\)[/tex].
2. Radio de la circunferencia: El término en el lado derecho de la ecuación, [tex]\(4.9\)[/tex], representa [tex]\(r^2\)[/tex], donde [tex]\(r\)[/tex] es el radio.
- [tex]\(r = \sqrt{4.9}\)[/tex].
- Calculando, [tex]\(r ≈ 2.214\)[/tex].
3. Conclusión para la primera ecuación: El centro es [tex]\((9, -5)\)[/tex] y el radio es aproximadamente [tex]\(2.214\)[/tex].
### Segunda Ecuación: [tex]\((y-5)^2 + \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = 81\)[/tex]
1. Centro de la circunferencia: Aquí la ecuación está escrita con los términos de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] invertidos, pero la forma general sigue siendo la misma.
- El término asociado con [tex]\(x\)[/tex] es [tex]\(\left(x - \frac{2}{3}\right)^2\)[/tex], indicando que [tex]\(h = \frac{2}{3}\)[/tex].
- El término asociado con [tex]\(y\)[/tex] es [tex]\((y-5)^2\)[/tex], indicando que [tex]\(k = 5\)[/tex].
- Por lo tanto, el centro de esta circunferencia es [tex]\(\left(\frac{2}{3}, 5\right)\)[/tex].
2. Radio de la circunferencia: El término en el lado derecho de la ecuación, [tex]\(81\)[/tex], representa [tex]\(r^2\)[/tex].
- [tex]\(r = \sqrt{81}\)[/tex].
- Calculando, [tex]\(r = 9\)[/tex].
3. Conclusión para la segunda ecuación: El centro es [tex]\(\left(\frac{2}{3}, 5\right)\)[/tex] y el radio es [tex]\(9\)[/tex].
### Tercera Ecuación: [tex]\((x-h)^2 + (y+1)^2 = 40\)[/tex]
1. Centro de la circunferencia:
- El término [tex]\((x-h)^2\)[/tex] indica que el valor de [tex]\(h\)[/tex] es el centro para [tex]\(x\)[/tex].
- El término [tex]\((y+1)^2\)[/tex] indica que [tex]\(k = -1\)[/tex].
- Por lo tanto, el centro de esta circunferencia es [tex]\((h, -1)\)[/tex], sin un valor específico para [tex]\(h\)[/tex].
2. Radio de la circunferencia: El término en el lado derecho de la ecuación, [tex]\(40\)[/tex], representa [tex]\(r^2\)[/tex].
- [tex]\(r = \sqrt{40}\)[/tex].
- Calculando, [tex]\(r ≈ 6.325\)[/tex].
3. Conclusión para la tercera ecuación: El centro es [tex]\((h, -1)\)[/tex] y el radio es aproximadamente [tex]\(6.325\)[/tex].
### Resumen Final
Las soluciones detalladas para las ecuaciones de la circunferencia son:
1. Para la ecuación [tex]\((x-9)^2 + (y+5)^2 = 4.9\)[/tex]:
- Centro: [tex]\((9, -5)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(2.214\)[/tex]
2. Para la ecuación [tex]\((y-5)^2 + \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 = 81\)[/tex]:
- Centro: [tex]\(\left(\frac{2}{3}, 5\right)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(9\)[/tex]
3. Para la ecuación [tex]\((x-h)^2 + (y+1)^2 = 40\)[/tex]:
- Centro: [tex]\((h, -1)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(6.325\)[/tex]
