Para determinar si la función [tex]\( y = \cos x \)[/tex] es creciente o decreciente en el intervalo [tex]\( -5\pi < x < 6\pi \)[/tex], necesitamos analizar la derivada de la función [tex]\( y \)[/tex].
El coseno es una función trigonométrica y su derivada es:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = -\sin x \][/tex]
La información de la derivada nos dice si la función es creciente o decreciente:
- La función es creciente cuando su derivada es positiva, es decir, [tex]\( \frac{dy}{dx} > 0 \)[/tex].
- La función es decreciente cuando su derivada es negativa, es decir, [tex]\( \frac{dy}{dx} < 0 \)[/tex].
Ahora evaluemos la derivada en el intervalo dado y determinemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
1. Identificamos los valores en los que [tex]\( \sin x \)[/tex] es positivo (lo que hace que [tex]\( -\sin x \)[/tex] sea negativo y la función [tex]\( y = \cos x \)[/tex] decreciente):
Los intervalos de [tex]\( x \)[/tex] para los que [tex]\( \sin x \)[/tex] es positivo en [tex]\( -5\pi < x < 6\pi \)[/tex] son:
[tex]\[
x = -4.5\pi, -3.5\pi, -2.5\pi, -1.5\pi, -0.5\pi, 0.5\pi, 1.5\pi, 2.5\pi, 3.5\pi, 4.5\pi, 5.5\pi
\][/tex]
Por lo tanto, la función [tex]\( y = \cos x \)[/tex] es decreciente en los intervalos:
[tex]\[
-14.137167 \leq x \leq -10.210407, \quad
-6.283647 \leq x \leq -3.141592, \quad
0 \leq x \leq 3.141592, \quad
6.283185 \leq x \leq 9.424777, \quad
12.566370 \leq x \leq 15.707963
\][/tex]
2. Identificamos los valores en los que [tex]\( \sin x \)[/tex] es negativo (lo que hace que [tex]\( -\sin x \)[/tex] sea positivo y la función [tex]\( y = \cos x \)[/tex] creciente):
Los intervalos de [tex]\( x \)[/tex] para los que [tex]\( \sin x \)[/tex] es negativo en [tex]\( -5\pi < x < 6\pi \)[/tex] son:
[tex]\[
x = -5\pi < x < -4\pi, \quad
-3\pi < x < -2\pi, \quad
-1\pi < x < 0, \quad
\pi < x < 2\pi, \quad
3\pi < x < 4\pi, \quad
5\pi < x < 6\pi
\][/tex]
Por lo tanto, la función [tex]\( y = \cos x \)[/tex] es creciente en los intervalos:
[tex]\[
-15.707963 \leq x \leq -12.566370, \quad
-9.424778 \leq x \leq -6.283185, \quad
-3.141593 \leq x \leq 0, \quad
3.141593 \leq x \leq 6.283185, \quad
9.424778 \leq x \leq 12.566370
\][/tex]
En resumen, en el intervalo [tex]\( -5\pi < x < 6\pi \)[/tex]:
- [tex]\( y = \cos x \)[/tex] es decreciente en los intervalos mencionados anteriormente.
- [tex]\( y = \cos x \)[/tex] es creciente en los intervalos mencionados anteriormente.
