Para resolver las multiplicaciones de un monomio por un polinomio, vamos a distribuir el monomio a cada uno de los términos dentro del polinomio. Aquí está la solución paso a paso para cada caso:
### a. [tex]\(3x(x + 2)\)[/tex]
Distribuimos [tex]\(3x\)[/tex] a cada término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 3x(x + 2) = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ = 3x^2 + 6x \][/tex]
### b. [tex]\(7 \times 2y 3(3x 5y 6+2x 3y 4)\)[/tex]
Primero simplificamos los términos dentro del paréntesis y luego multiplicamos por los coeficientes externos. Sin embargo, hay un pequeño error en la notación de los términos que deberían ser más claros. Corrigiéndolo y distribuyendo:
[tex]\[ 3(3x \cdot 5y + 6 + 2x \cdot 3y + 4) = 3(15xy + 6 + 6xy + 4) \][/tex]
[tex]\[ = 3(21xy + 10) \][/tex]
Ahora distribuimos [tex]\(7 \times 2y\)[/tex]:
[tex]\[ 7 \times 2y \cdot (21xy + 10) = 14y \cdot 21xy + 14y \cdot 10 \][/tex]
[tex]\[ = 294x y^2 + 140y \][/tex]
### c. [tex]\(-5x(x^2 + 3)\)[/tex]
Distribuimos [tex]\(-5x\)[/tex] a cada término dentro del paréntesis:
[tex]\[ -5x(x^2 + 3) = -5x \cdot x^2 + (-5x) \cdot 3 \][/tex]
[tex]\[ = -5x^3 - 15x \][/tex]
### d. [tex]\(-4xy 5(-5x^3 y + 3xy)\)[/tex]
Distribuimos [tex]\(-4xy \cdot 5\)[/tex] a cada término dentro del paréntesis:
[tex]\[ -4xy \cdot 5(-5x^3y + 3xy) = -20xy(-5x^3y + 3xy) \][/tex]
[tex]\[ = -20xy \cdot (-5x^3y) + (-20xy) \cdot 3xy \][/tex]
[tex]\[ = 100x^4y^2 - 60x^2y^2 \][/tex]
### e. [tex]\(4 \times 2(x^3 - 4)\)[/tex]
Distribuimos [tex]\(4 \times 2\)[/tex] a cada término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 4 \times 2(x^3 - 4) = 8(x^3 - 4) \][/tex]
[tex]\[ = 8x^3 - 32 \][/tex]
### f. [tex]\((x + 3x^2) 2x\)[/tex]
Distribuimos [tex]\(2x\)[/tex] a cada término dentro del paréntesis:
[tex]\[ (x + 3x^2)2x = x \cdot 2x + 3x^2 \cdot 2x \][/tex]
[tex]\[ = 2x^2 + 6x^3 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son:
a. [tex]\(3x(x+2) = 3x^2 + 6x\)[/tex]
b. [tex]\(7 \times 2y 3(3x 5y 6+2x 3y 4) = 294xy^2 + 140y\)[/tex]
c. [tex]\(-5x(x^2 + 3) = -5x^3 - 15x\)[/tex]
d. [tex]\(-4xy 5(-5x^3 y + 3xy) = 100x^4y^2 - 60x^2y^2\)[/tex]
e. [tex]\(4 \times 2(x^3 - 4) = 8x^3 - 32\)[/tex]
f. [tex]\((x + 3x^2)2x = 2x^2 + 6x^3\)[/tex]
