Claro, vamos a resolver los productos notables del cuadrado de un binomio paso a paso.
El cuadrado de un binomio, para [tex]\( (a + b)^2 \)[/tex], se desarrolla usando la fórmula:
[tex]\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \][/tex]
### a. [tex]\((x + 2)^2\)[/tex]
Usamos la fórmula del cuadrado de un binomio:
[tex]\[ (x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 \][/tex]
[tex]\[ = x^2 + 4x + 4 \][/tex]
### b. [tex]\((5 + y)^2\)[/tex]
De nuevo, aplicamos la misma fórmula:
[tex]\[ (5 + y)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot y + y^2 \][/tex]
[tex]\[ = 25 + 10y + y^2 \][/tex]
### c. [tex]\((a - 3)^2\)[/tex]
Aquí tenemos un binomio con un signo negativo:
[tex]\[ (a - 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-3) + (-3)^2 \][/tex]
[tex]\[ = a^2 - 6a + 9 \][/tex]
### d. [tex]\((5a + b)^2\)[/tex]
Aplicamos la fórmula con [tex]\(a\)[/tex] siendo [tex]\(5a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] simplemente:
[tex]\[ (5a + b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot b + b^2 \][/tex]
[tex]\[ = 25a^2 + 10ab + b^2 \][/tex]
### e. [tex]\((2ax - 1)^2\)[/tex]
Aplicamos la fórmula con [tex]\(a\)[/tex] siendo [tex]\(2ax\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] siendo [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[ (2ax - 1)^2 = (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax) \cdot (-1) + (-1)^2 \][/tex]
[tex]\[ = 4a^2x^2 - 4ax + 1 \][/tex]
### f. [tex]\((x^3 - b^3)^2\)[/tex]
Aplicamos la fórmula con [tex]\(a\)[/tex] siendo [tex]\(x^3\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] siendo [tex]\(b^3\)[/tex]:
[tex]\[ (x^3 - b^3)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot (-b^3) + (b^3)^2 \][/tex]
[tex]\[ = x^6 - 2x^3b^3 + b^6 \][/tex]
### g. [tex]\((12x^3 - 9xy^4)^2\)[/tex]
Aplicamos la fórmula con [tex]\(a\)[/tex] siendo [tex]\(12x^3\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] siendo [tex]\(-9xy^4\)[/tex]:
[tex]\[ (12x^3 - 9xy^4)^2 = (12x^3)^2 + 2 \cdot (12x^3) \cdot (-9xy^4) + (-9xy^4)^2 \][/tex]
[tex]\[ = 144x^6 - 216x^4y^4 + 81x^2y^8 \][/tex]
### h. [tex]\((x^m + y^n)^2\)[/tex]
Aplicamos la fórmula con [tex]\(a\)[/tex] siendo [tex]\(x^m\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] siendo [tex]\(y^n\)[/tex]:
[tex]\[ (x^m + y^n)^2 = (x^m)^2 + 2 \cdot x^m \cdot y^n + (y^n)^2 \][/tex]
[tex]\[ = x^{2m} + 2x^my^n + y^{2n} \][/tex]
Espero que estas soluciones te sean útiles. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacerla.
