Para reducir la expresión
[tex]\[
B = \frac{3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-9}}{243},
\][/tex]
seguimos estos pasos detallados:
### Paso 1: Simplificar los exponentes
Dado que todos los términos en el numerador son potencias de 3, podemos sumar los exponentes para combinarlos en una sola potencia de 3. Esto se deduce de la propiedad de las potencias que dice [tex]\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)[/tex]. Así, sumamos los exponentes [tex]\( 1, 3, 5, 7 \)[/tex] y [tex]\( -9 \)[/tex]:
[tex]\[
3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-9} = 3^{1+3+5+7-9}.
\][/tex]
### Paso 2: Calcular la suma de los exponentes
Realizamos la suma de los exponentes:
[tex]\[
1 + 3 + 5 + 7 - 9 = 7.
\][/tex]
Por lo tanto, el numerador se reduce a:
[tex]\[
3^7.
\][/tex]
La expresión ahora es:
[tex]\[
B = \frac{3^7}{243}.
\][/tex]
### Paso 3: Simplificar el denominador
Sabemos que [tex]\( 243 \)[/tex] es una potencia de 3, específicamente:
[tex]\[
243 = 3^5.
\][/tex]
Así que la expresión se convierte en:
[tex]\[
B = \frac{3^7}{3^5}.
\][/tex]
### Paso 4: Simplificar la fracción
Aplicamos la propiedad de las potencias [tex]\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)[/tex]:
[tex]\[
B = 3^{7-5} = 3^2.
\][/tex]
### Paso 5: Calcular el valor final
Sabemos que [tex]\( 3^2 = 9 \)[/tex], por lo que:
[tex]\[
B = 9.
\][/tex]
### Conclusión
La expresión reducida de
[tex]\[
B = \frac{3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-9}}{243}
\][/tex]
es simplemente:
[tex]\[
B = 9.
\][/tex]
