Para simplificar la expresión dada [tex]\( B \)[/tex], procederemos paso a paso desglosando las operaciones y aplicando las propiedades de los exponentes.
La expresión original es:
[tex]\[
B = \left[\left(x^2\right)^{-3} \left(x^{\frac{4}{5}}\right)^5 \left(x^{-3}\right)^{-1} \right]^2
\][/tex]
Paso 1: Simplificar cada componente dentro del paréntesis
1. Simplificación de [tex]\(\left(x^2\right)^{-3}\)[/tex]:
Aplicamos la propiedad de los exponentes [tex]\((a^m)^n = a^{mn}\)[/tex]:
[tex]\[
\left(x^2\right)^{-3} = x^{2 \cdot (-3)} = x^{-6}
\][/tex]
2. Simplificación de [tex]\(\left(x^{\frac{4}{5}}\right)^5\)[/tex]:
Nuevamente aplicamos [tex]\((a^m)^n = a^{mn}\)[/tex]:
[tex]\[
\left(x^{\frac{4}{5}}\right)^5 = x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = x^4
\][/tex]
3. Simplificación de [tex]\(\left(x^{-3}\right)^{-1}\)[/tex]:
Aplicamos [tex]\((a^m)^n = a^{mn}\)[/tex]:
[tex]\[
\left(x^{-3}\right)^{-1} = x^{-3 \cdot (-1)} = x^3
\][/tex]
Ahora, substituimos estos resultados en la expresión original:
[tex]\[
B = \left[x^{-6} \cdot x^4 \cdot x^3 \right]^2
\][/tex]
Paso 2: Combinación de términos con la misma base
Utilizamos la propiedad de los exponentes [tex]\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)[/tex]:
[tex]\[
x^{-6} \cdot x^4 \cdot x^3 = x^{-6 + 4 + 3} = x^1 = x
\][/tex]
Entonces, la expresión se reduce a:
[tex]\[
B = (x)^2
\][/tex]
Paso 3: Exponente fuera del paréntesis
Finalmente, simplificamos [tex]\((x)^2\)[/tex] aplicando la propiedad de los exponentes:
[tex]\[
(x)^2 = x^2
\][/tex]
Entonces, la expresión final simplificada de [tex]\( B \)[/tex] es:
[tex]\[
B = x^2
\][/tex]
