Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones gráficamente y encontrar la pendiente y el punto de corte con el eje [tex]\( y \)[/tex] para cada una de las ecuaciones.
Dado el sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l}
3 x+2 y=5 \\
2 x-4 y=1 \\
x+6 y=4
\end{array}\right. \][/tex]
### 1. Primera ecuación: [tex]\(3x + 2y = 5\)[/tex]
Para encontrar la pendiente y el punto de corte con el eje [tex]\( y \)[/tex], primero despejamos [tex]\( y \)[/tex].
[tex]\[ 3x + 2y = 5 \][/tex]
Restamos [tex]\( 3x \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 2y = -3x + 5 \][/tex]
Dividimos todo entre 2:
[tex]\[ y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \][/tex]
De aquí podemos identificar:
- Pendiente (m): [tex]\(-\frac{3}{2}\)[/tex]
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (b): [tex]\(\frac{5}{2}\)[/tex]
### 2. Segunda ecuación: [tex]\(2x - 4y = 1\)[/tex]
Despejamos [tex]\( y \)[/tex] nuevamente:
[tex]\[ 2x - 4y = 1 \][/tex]
Restamos [tex]\( 2x \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ -4y = -2x + 1 \][/tex]
Dividimos todo entre [tex]\(-4\)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \][/tex]
De aquí podemos identificar:
- Pendiente (m): [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex]
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (b): [tex]\(-\frac{1}{4}\)[/tex]
### 3. Tercera ecuación: [tex]\(x + 6y = 4\)[/tex]
Despejamos [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ x + 6y = 4 \][/tex]
Restamos [tex]\( x \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ 6y = -x + 4 \][/tex]
Dividimos todo entre 6:
[tex]\[ y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{6} \][/tex]
Simplificamos [tex]\(\frac{4}{6}\)[/tex] a [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex]:
[tex]\[ y = -\frac{1}{6}x + \frac{2}{3} \][/tex]
De aquí podemos identificar:
- Pendiente (m): [tex]\(-\frac{1}{6}\)[/tex]
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (b): [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex]
### Resumen:
- Para la ecuación [tex]\(3x + 2y = 5\)[/tex]:
- Pendiente (m): [tex]\(-\frac{3}{2}\)[/tex]
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (b): [tex]\(\frac{5}{2}\)[/tex]
- Para la ecuación [tex]\(2x - 4y = 1\)[/tex]:
- Pendiente (m): [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex]
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (b): [tex]\(-\frac{1}{4}\)[/tex]
- Para la ecuación [tex]\(x + 6y = 4\)[/tex]:
- Pendiente (m): [tex]\(-\frac{1}{6}\)[/tex]
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (b): [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex]
Así, hemos identificado la pendiente y la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] para cada una de las tres ecuaciones del sistema.
