Para determinar el valor de [tex]\(\alpha\)[/tex] para que el polinomio [tex]\(f(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 + 4x\)[/tex] sea divisible por [tex]\(x - 2\)[/tex], debemos verificar si [tex]\(x - 2\)[/tex] es un factor del polinomio. Esto se puede hacer utilizando el teorema del resto, que nos dice que un polinomio [tex]\(f(x)\)[/tex] es divisible por [tex]\(x - a\)[/tex] si y solo si [tex]\(f(a) = 0\)[/tex].
En este caso, necesitamos encontrar [tex]\(f(2)\)[/tex] y verificar que [tex]\(f(2) = 0\)[/tex]:
Dados [tex]\(f(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 + 4x\)[/tex]
Evaluamos [tex]\(f(x)\)[/tex] en [tex]\(x = 2\)[/tex]:
[tex]\[ f(2) = 2^5 - 3(2^4) + 2(2^2) + 4(2) \][/tex]
[tex]\[ f(2) = 32 - 3 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = 32 - 48 + 8 + 8 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = 32 - 48 + 16 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = 0 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(f(2) = 0\)[/tex], lo que significa que [tex]\(x - 2\)[/tex] es un factor de [tex]\(f(x)\)[/tex]. Así que la respuesta es:
[tex]\[
\boxed{0}
\][/tex]
