Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso y encontrar la menor raíz.
Dada la ecuación:
[tex]\[
(x + 5)^2 = 7(x + 5)
\][/tex]
Primero, reescribimos la ecuación en una forma más conveniente. Para hacerlo, podemos distribuir y reorganizar todo en un solo lado de la ecuación:
[tex]\[
(x + 5)^2 - 7(x + 5) = 0
\][/tex]
Ahora, expandimos el cuadrado y simplificamos:
[tex]\[
(x + 5)(x + 5) - 7(x + 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 10x + 25 - 7(x + 5) = 0
\][/tex]
Simplificamos aún más:
[tex]\[
x^2 + 10x + 25 - 7x - 35 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x - 10 = 0
\][/tex]
Tenemos una ecuación cuadrática estándar [tex]\(x^2 + 3x - 10 = 0\)[/tex]. Ahora, para resolver esta ecuación cuadrática, usamos la fórmula general:
[tex]\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
\][/tex]
Aquí, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 3\)[/tex], y [tex]\(c = -10\)[/tex]. Sustituyendo estos valores en la fórmula:
[tex]\[
x = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}}}{2 \cdot 1} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{{-3 \pm \sqrt{{9 + 40}}}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{{-3 \pm \sqrt{49}}}{2}
\][/tex]
Resolvemos la raíz cuadrada y obtenemos:
[tex]\[
x = \frac{{-3 \pm 7}}{2}
\][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[
x = \frac{{-3 + 7}}{2} = \frac{4}{2} = 2
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{{-3 - 7}}{2} = \frac{-10}{2} = -5
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son [tex]\(x = 2\)[/tex] y [tex]\(x = -5\)[/tex].
Finalmente, identificamos la menor raíz entre las dos soluciones. La menor raíz es:
[tex]\[
\boxed{-5}
\][/tex]
Entonces, la respuesta correcta es la opción B.
