Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto [tex]\( P(2, 4) \)[/tex] y es paralela a la recta [tex]\( Y = 2x + 3 \)[/tex], vamos a seguir estos pasos:
1. Identificar la pendiente de la recta dada:
La ecuación de la recta dada es [tex]\( Y = 2x + 3 \)[/tex]. En esta forma (pendiente-intersección), la pendiente [tex]\( m \)[/tex] se encuentra junto al término de [tex]\( x \)[/tex]. Aquí, la pendiente [tex]\( m \)[/tex] es 2.
2. Recordar que las rectas paralelas tienen la misma pendiente:
Como la nueva recta que buscamos es paralela a [tex]\( Y = 2x + 3 \)[/tex], tendrá la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente de la nueva recta también es 2.
3. Usar la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:
La forma punto-pendiente de la ecuación de una recta es:
[tex]\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\][/tex]
donde [tex]\( (x_1, y_1) \)[/tex] es un punto por el que pasa la recta y [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente.
Dado que nuestra recta pasa por el punto [tex]\( P(2, 4) \)[/tex] y tiene una pendiente [tex]\( m = 2 \)[/tex], podemos sustituir estos valores en la forma punto-pendiente:
[tex]\[
y - 4 = 2(x - 2)
\][/tex]
4. Simplificar la ecuación:
Ahora simplificamos la ecuación para ponerla en la forma pendiente-intersección:
[tex]\[
y - 4 = 2(x - 2)
\][/tex]
Distribuyendo:
[tex]\[
y - 4 = 2x - 4
\][/tex]
Suma 4 a ambos lados para despejar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
y = 2x - 4 + 4
\][/tex]
[tex]\[
y = 2x
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por el punto [tex]\( P(2, 4) \)[/tex] y es paralela a la recta [tex]\( Y = 2x + 3 \)[/tex] es [tex]\( \boxed{y = 2x} \)[/tex].
