Answer :
Claro, veamos cada una de las tres ecuaciones por separado.
### Primera ecuación
[tex]\[ 7 \sqrt{54} - 3 \sqrt{18} + \sqrt{24} - \frac{3}{5} \sqrt{50} \][/tex]
Primero, simplifiquemos las raíces cuadradas:
- [tex]\(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3 \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \sqrt{2}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2 \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2}\)[/tex]
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación:
[tex]\[ 7 (3 \sqrt{6}) - 3 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6} - \frac{3}{5} (5 \sqrt{2}) \][/tex]
[tex]\[ 21 \sqrt{6} - 9 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \][/tex]
Ahora combinamos términos similares:
[tex]\[ (21 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6}) - (9 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}) \][/tex]
[tex]\[ 23 \sqrt{6} - 12 \sqrt{2} \][/tex]
### Segunda ecuación
[tex]\[ \frac{3}{2} \sqrt{x y} - \frac{1}{3} \sqrt{4 x y} + \frac{2}{5} \sqrt{9 x y} - \frac{4}{3} \sqrt{x y^4} \][/tex]
Primero, simplifiquemos las raíces cuadradas:
- [tex]\(\sqrt{4xy} = 2 \sqrt{xy}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{9xy} = 3 \sqrt{xy}\)[/tex]
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación:
[tex]\[ \frac{3}{2} \sqrt{xy} - \frac{1}{3} (2 \sqrt{xy}) + \frac{2}{5} (3 \sqrt{xy}) - \frac{4}{3} \sqrt{xy^4} \][/tex]
[tex]\[ \frac{3}{2} \sqrt{xy} - \frac{2}{3} \sqrt{xy} + \frac{6}{5} \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
Combina términos similares (deja la parte diferente sin combinar):
[tex]\[ \left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3} + \frac{6}{5}\right) \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
Para combinar los coeficientes de [tex]\(\sqrt{xy}\)[/tex], comuniquemos para obtener un denominador común:
[tex]\[ \frac{3}{2} = \frac{15}{10}, \quad \frac{2}{3} = \frac{20}{30}, \quad \frac{6}{5} = \frac{36}{30} \][/tex]
[tex]\[ \frac{15}{10} - \frac{20}{30} + \frac{36}{30} = \frac{45}{30} - \frac{20}{30} + \frac{36}{30} = \frac{61}{30} \][/tex]
Así que la segunda ecuación se simplifica a:
[tex]\[ \frac{61}{30} \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
### Tercera ecuación
[tex]\[ \sqrt{216 a^3 b^5} + \sqrt{294 a^3 b^5} - \sqrt{125 a^4 b^3} - \sqrt{720 a^4 b^3} \][/tex]
Primero, simplifiquemos las raíces cuadradas:
- [tex]\(\sqrt{216 a^3 b^5} = \sqrt{36 \cdot 6 \cdot a^3 \cdot b^5} = 6 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{294 a^3 b^5} = \sqrt{49 \cdot 6 \cdot a^3 \cdot b^5} = 7 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{125 a^4 b^3} = \sqrt{25 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot b^3} = 5 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{720 a^4 b^3} = \sqrt{144 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot b^3} = 12 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5}\)[/tex]
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación:
[tex]\[ 6 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} + 7 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} - 5 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} - 12 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} \][/tex]
Ahora combinamos términos similares:
[tex]\[ (6 a^{3/2} b^{5/2} + 7 a^{3/2} b^{5/2}) \cdot \sqrt{6} - (5 a^2 b^{3/2} + 12 a^2 b^{3/2}) \cdot \sqrt{5} \][/tex]
[tex]\[ 13 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} - 17 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones simplificadas son:
[tex]\[ (1) \quad 23 \sqrt{6} - 12 \sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ (2) \quad \frac{61}{30} \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
[tex]\[ (3) \quad 13 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} - 17 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} \][/tex]
### Primera ecuación
[tex]\[ 7 \sqrt{54} - 3 \sqrt{18} + \sqrt{24} - \frac{3}{5} \sqrt{50} \][/tex]
Primero, simplifiquemos las raíces cuadradas:
- [tex]\(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3 \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \sqrt{2}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2 \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2}\)[/tex]
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación:
[tex]\[ 7 (3 \sqrt{6}) - 3 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6} - \frac{3}{5} (5 \sqrt{2}) \][/tex]
[tex]\[ 21 \sqrt{6} - 9 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \][/tex]
Ahora combinamos términos similares:
[tex]\[ (21 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6}) - (9 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}) \][/tex]
[tex]\[ 23 \sqrt{6} - 12 \sqrt{2} \][/tex]
### Segunda ecuación
[tex]\[ \frac{3}{2} \sqrt{x y} - \frac{1}{3} \sqrt{4 x y} + \frac{2}{5} \sqrt{9 x y} - \frac{4}{3} \sqrt{x y^4} \][/tex]
Primero, simplifiquemos las raíces cuadradas:
- [tex]\(\sqrt{4xy} = 2 \sqrt{xy}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{9xy} = 3 \sqrt{xy}\)[/tex]
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación:
[tex]\[ \frac{3}{2} \sqrt{xy} - \frac{1}{3} (2 \sqrt{xy}) + \frac{2}{5} (3 \sqrt{xy}) - \frac{4}{3} \sqrt{xy^4} \][/tex]
[tex]\[ \frac{3}{2} \sqrt{xy} - \frac{2}{3} \sqrt{xy} + \frac{6}{5} \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
Combina términos similares (deja la parte diferente sin combinar):
[tex]\[ \left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3} + \frac{6}{5}\right) \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
Para combinar los coeficientes de [tex]\(\sqrt{xy}\)[/tex], comuniquemos para obtener un denominador común:
[tex]\[ \frac{3}{2} = \frac{15}{10}, \quad \frac{2}{3} = \frac{20}{30}, \quad \frac{6}{5} = \frac{36}{30} \][/tex]
[tex]\[ \frac{15}{10} - \frac{20}{30} + \frac{36}{30} = \frac{45}{30} - \frac{20}{30} + \frac{36}{30} = \frac{61}{30} \][/tex]
Así que la segunda ecuación se simplifica a:
[tex]\[ \frac{61}{30} \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
### Tercera ecuación
[tex]\[ \sqrt{216 a^3 b^5} + \sqrt{294 a^3 b^5} - \sqrt{125 a^4 b^3} - \sqrt{720 a^4 b^3} \][/tex]
Primero, simplifiquemos las raíces cuadradas:
- [tex]\(\sqrt{216 a^3 b^5} = \sqrt{36 \cdot 6 \cdot a^3 \cdot b^5} = 6 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{294 a^3 b^5} = \sqrt{49 \cdot 6 \cdot a^3 \cdot b^5} = 7 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{125 a^4 b^3} = \sqrt{25 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot b^3} = 5 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5}\)[/tex]
- [tex]\(\sqrt{720 a^4 b^3} = \sqrt{144 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot b^3} = 12 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5}\)[/tex]
Sustituyendo estas simplificaciones en la ecuación:
[tex]\[ 6 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} + 7 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} - 5 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} - 12 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} \][/tex]
Ahora combinamos términos similares:
[tex]\[ (6 a^{3/2} b^{5/2} + 7 a^{3/2} b^{5/2}) \cdot \sqrt{6} - (5 a^2 b^{3/2} + 12 a^2 b^{3/2}) \cdot \sqrt{5} \][/tex]
[tex]\[ 13 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} - 17 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones simplificadas son:
[tex]\[ (1) \quad 23 \sqrt{6} - 12 \sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ (2) \quad \frac{61}{30} \sqrt{xy} - \frac{4}{3} \sqrt{x} (y^2) \][/tex]
[tex]\[ (3) \quad 13 a^{3/2} b^{5/2} \cdot \sqrt{6} - 17 a^2 b^{3/2} \cdot \sqrt{5} \][/tex]
