Para resolver el problema de encontrar la longitud del lado [tex]\( c \)[/tex] de un triángulo dado que uno de los ángulos es [tex]\( B = 25^\circ \)[/tex], el otro ángulo es [tex]\( C = 75^\circ \)[/tex], y la longitud del lado opuesto a [tex]\( B \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex], es 12, seguiremos estos pasos:
1. Determinar el ángulo [tex]\( A \)[/tex] del triángulo:
Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre [tex]\( 180^\circ \)[/tex]:
[tex]\[
A = 180^\circ - B - C
\][/tex]
Sustituyendo los valores dados:
[tex]\[
A = 180^\circ - 25^\circ - 75^\circ
\][/tex]
[tex]\[
A = 80^\circ
\][/tex]
2. Usar la Ley de los Senos para hallar [tex]\( c \)[/tex]:
La Ley de los Senos establece que:
[tex]\[
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
\][/tex]
En nuestro caso, queremos encontrar [tex]\( c \)[/tex], así que utilizamos:
[tex]\[
c = \frac{b \cdot \sin(C)}{\sin(B)}
\][/tex]
Sustituimos los valores conocidos: [tex]\( b = 12 \)[/tex], [tex]\( C = 75^\circ \)[/tex], y [tex]\( B = 25^\circ \)[/tex].
Ahora, calculamos los valores de los senos de los ángulos:
[tex]\[
\sin(25^\circ) \approx 0.4226
\][/tex]
[tex]\[
\sin(75^\circ) \approx 0.9659
\][/tex]
3. Calcular [tex]\( c \)[/tex]:
Utilizando las aproximaciones para los senos:
[tex]\[
c = \frac{12 \cdot \sin(75^\circ)}{\sin(25^\circ)}
\][/tex]
[tex]\[
c = \frac{12 \cdot 0.9659}{0.4226}
\][/tex]
[tex]\[
c \approx \frac{11.5908}{0.4226}
\][/tex]
[tex]\[
c \approx 27.4269
\][/tex]
Por lo tanto, la longitud del lado [tex]\( c \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 27.426902632476946 \)[/tex].
