Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
Dado:
- Velocidad inicial ([tex]\(v_0\)[/tex]) = 200 m/s
- Ángulo de lanzamiento ([tex]\(\theta\)[/tex]) = 30°
- Aceleración debido a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]) = 9.81 m/s²
Primero, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical.
### a) Altura máxima
La componente vertical de la velocidad inicial ([tex]\(v_{0y}\)[/tex]) se calcula como:
[tex]\[ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) \][/tex]
Para calcular la altura máxima ([tex]\(H\)[/tex]), utilizamos la fórmula:
[tex]\[ H = \frac{v_{0y}^2}{2g} \][/tex]
Con [tex]\(\theta = 30°\)[/tex]:
[tex]\[ v_{0y} = 200 \sin(30°) \][/tex]
Dado que [tex]\(\sin(30°) = 0.5\)[/tex]:
[tex]\[ v_{0y} = 200 \times 0.5 = 100 \text{ m/s} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ H = \frac{(100)^2}{2 \times 9.81} \approx 509.68 \text{ m} \][/tex]
Por lo tanto, la altura máxima que alcanza la bala es aproximadamente 509.68 metros.
### b) Distancia al punto de máximo altura
La componente horizontal de la velocidad inicial ([tex]\(v_{0x}\)[/tex]) se calcula como:
[tex]\[ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) \][/tex]
Para encontrar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima ([tex]\(t_\text{max}\)[/tex]), utilizamos:
[tex]\[ t_\text{max} = \frac{v_{0y}}{g} \][/tex]
Con [tex]\(\theta = 30°\)[/tex]:
[tex]\[ v_{0x} = 200 \cos(30°) \][/tex]
Dado que [tex]\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)[/tex]:
[tex]\[ v_{0x} = 200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 173.21 \text{ m/s} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ t_\text{max} = \frac{100}{9.81} \approx 10.19 \text{ s} \][/tex]
La distancia horizontal recorrida hasta la altura máxima se calcula como:
[tex]\[ x_\text{max\_altura} = v_{0x} \times t_\text{max} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ x_\text{max\_altura} = 173.21 \times 10.19 \approx 1765.60 \text{ m} \][/tex]
Por lo tanto, la distancia al punto de máximo altura es aproximadamente 1765.60 metros.
### c) Distancia total del lanzamiento
El tiempo total de vuelo ([tex]\(T\)[/tex]) es el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima, ya que el proyectil sigue una trayectoria simétrica:
[tex]\[ T = 2 \times t_\text{max} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ T \approx 2 \times 10.19 \approx 20.38 \text{ s} \][/tex]
La distancia horizontal total recorrida (alcance, [tex]\(R\)[/tex]) se calcula como:
[tex]\[ R = v_{0x} \times T \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ R = 173.21 \times 20.38 \approx 3531.19 \text{ m} \][/tex]
Por lo tanto, la distancia total del lanzamiento (alcance) es aproximadamente 3531.19 metros.
Resumiendo:
a) La altura máxima que alcanza la bala es aproximadamente 509.68 metros.
b) La distancia al punto de máximo altura es aproximadamente 1765.60 metros.
c) La distancia total del lanzamiento es aproximadamente 3531.19 metros.
