चलिए इस समीकरण को चरणबद्ध तरीके से हल करते हैं:
[tex]\[ 3^{x-2} + 3^{3-x} = 4 \][/tex]
सबसे पहले, हम प्रतीत करते हैं कि [tex]\( 3^{x-2} \)[/tex] और [tex]\( 3^{3-x} \)[/tex] को सरल बना सकते हैं। हम ध्यान दें कि [tex]\(3^{3-x}\)[/tex] को [tex]\( 3^3 \cdot 3^{-x} = 27 \cdot 3^{-x} \)[/tex] की तरह लिखा जा सकता है। उसी तरीके से, [tex]\( 3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9} \)[/tex] लिखा जा सकता है।
अब, यदि हम [tex]\( 3^y = 3^{x-2} \)[/tex] मान लें, तो हमें [tex]\( y = x-2 \)[/tex] और [tex]\( 3^{3-x} = \frac{27}{3^x} = \frac{27}{3^{x-2} \cdot 3^2} = \frac{27}{9 \cdot 3^{x-2}} = \frac{3}{3^{x-2}} \)[/tex] मिलता है।
फिर,
[tex]\[ 3^{x-2} = t \][/tex]
इसलिए [tex]\( 3^{3-x} = \frac{27}{3^x} = \frac{3}{t} \)[/tex] हो जाता है।
अब, मूल समीकरण [tex]\( 3^{x-2} + 3^{3-x} = 4 \)[/tex] को [tex]\( t \)[/tex] के रूप में लिख सकते हैं:
[tex]\[ t + \frac{3}{t} = 4 \][/tex]
इस समीकरण को एक सामान्य रूप में बदलें:
[tex]\[ t^2 + 3 = 4t \][/tex]
दोनों तरफ से [tex]\( 4t \)[/tex] घटाएँ:
[tex]\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \][/tex]
अब, यह एक क्वाड्रेटिक समीकरण है, जिसे हम क्वाड्रेटिक सूत्र [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] का उपयोग कर हल कर सकते हैं:
[tex]\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
इसमें:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = -4 \)[/tex]
- [tex]\( c = 3 \)[/tex]
इसके अनुसार,
[tex]\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{4 \pm 2}{2} \][/tex]
इससे हमें दो समाधान मिलते हैं:
[tex]\[ t = \frac{4 + 2}{2} = 3 \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{4 - 2}{2} = 1 \][/tex]
याद रखें [tex]\( t = 3^{x-2} \)[/tex] था, तो अब हमें [tex]\( t = 3 \)[/tex] और [tex]\( t = 1 \)[/tex] के लिए [tex]\( 3^{x-2} \)[/tex] को हल करना है।
1. यदि [tex]\( 3^{x-2} = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ 3^{x-2} = 3^1 \][/tex]
[tex]\[ x-2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
2. यदि [tex]\( 3^{x-2} = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ 3^{x-2} = 3^0 \][/tex]
[tex]\[ x-2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
इस प्रकार, समीकरण के हल हैं:
[tex]\[ x = 2 \text{ या } x = 3 \][/tex]
