Answer :
Para que un trinomio sea un cuadrado perfecto, tiene que ser de la forma [tex]\((ax^2 + bx + c)\)[/tex], donde [tex]\(a, b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] están relacionados de tal manera que el trinomio se pueda expresar como [tex]\((dx + e)^2\)[/tex].
El proceso general para un trinomio de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c\)[/tex] es:
1. Identificar el término cuadrático [tex]\(a\)[/tex].
2. Identificar el término lineal [tex]\(b\)[/tex].
3. Calcular cuál debe ser el término constante [tex]\(c\)[/tex] para que el trinomio sea un cuadrado perfecto:
- El término constante [tex]\(c\)[/tex] debe ser [tex]\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)[/tex].
Evaluemos cada trinomio por separado.
### 1. [tex]\(n^4 + 2n^2 + 9\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(2n^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 2\)[/tex]
- [tex]\(c = 9\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(n^4 + 2n^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 9 - 1 = 8 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(8\)[/tex] al término constante.
### 2. [tex]\(4x^2 + 12x + 25\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(4x^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 4\)[/tex]
- [tex]\(b = 12\)[/tex]
- [tex]\(c = 25\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(4x^2 + 12x + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{12}{2 \cdot 4}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 25 - 2.25 = 22.75 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(22.75\)[/tex] al término constante.
### 3. [tex]\(9x^4 - 3x^2 + 1\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(-3x^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 9\)[/tex]
- [tex]\(b = -3\)[/tex]
- [tex]\(c = 1\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(9x^4 - 3x^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{-3}{2 \cdot 9}\right)^2 = \left(\frac{-3}{18}\right)^2 = \left(\frac{-1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \approx 0.0278 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 1 - 0.0278 = 0.9722 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(0.9722\)[/tex] al término constante.
### 4. [tex]\(a^6 + 5a^3 + 4\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(5a^3\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 5\)[/tex]
- [tex]\(c = 4\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(a^6 + 5a^3 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{5}{2 \cdot 1}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 6.25 - 4 = 2.25 \][/tex]
Entonces, hay que sumar [tex]\(2.25\)[/tex] al término constante.
### 5. [tex]\(y^4 + 3y^2 + 36\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(3y^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 3\)[/tex]
- [tex]\(c = 36\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(y^4 + 3y^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{3}{2 \cdot 1}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 36 - 2.25 = 33.75 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(33.75\)[/tex] al término constante.
### 6. [tex]\(m^4 - 6m^2 + 16\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(-6m^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = -6\)[/tex]
- [tex]\(c = 16\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(m^4 - 6m^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{-6}{2 \cdot 1}\right)^2 = \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = (-3)^2 = 9 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 16 - 9 = 7 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(7\)[/tex] al término constante.
En resumen, las sumas o restas necesarias para cada trinomio son:
- [tex]\(n^4 + 2n^2 + 9\)[/tex]: Restar 8.
- [tex]\(4x^2 + 12x + 25\)[/tex]: Restar 22.75.
- [tex]\(9x^4 - 3x^2 + 1\)[/tex]: Restar 0.9722.
- [tex]\(a^6 + 5a^3 + 4\)[/tex]: Sumar 2.25.
- [tex]\(y^4 + 3y^2 + 36\)[/tex]: Restar 33.75.
- [tex]\(m^4 - 6m^2 + 16\)[/tex]: Restar 7.
El proceso general para un trinomio de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c\)[/tex] es:
1. Identificar el término cuadrático [tex]\(a\)[/tex].
2. Identificar el término lineal [tex]\(b\)[/tex].
3. Calcular cuál debe ser el término constante [tex]\(c\)[/tex] para que el trinomio sea un cuadrado perfecto:
- El término constante [tex]\(c\)[/tex] debe ser [tex]\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)[/tex].
Evaluemos cada trinomio por separado.
### 1. [tex]\(n^4 + 2n^2 + 9\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(2n^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 2\)[/tex]
- [tex]\(c = 9\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(n^4 + 2n^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 9 - 1 = 8 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(8\)[/tex] al término constante.
### 2. [tex]\(4x^2 + 12x + 25\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(4x^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 4\)[/tex]
- [tex]\(b = 12\)[/tex]
- [tex]\(c = 25\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(4x^2 + 12x + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{12}{2 \cdot 4}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 25 - 2.25 = 22.75 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(22.75\)[/tex] al término constante.
### 3. [tex]\(9x^4 - 3x^2 + 1\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(-3x^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 9\)[/tex]
- [tex]\(b = -3\)[/tex]
- [tex]\(c = 1\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(9x^4 - 3x^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{-3}{2 \cdot 9}\right)^2 = \left(\frac{-3}{18}\right)^2 = \left(\frac{-1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \approx 0.0278 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 1 - 0.0278 = 0.9722 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(0.9722\)[/tex] al término constante.
### 4. [tex]\(a^6 + 5a^3 + 4\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(5a^3\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 5\)[/tex]
- [tex]\(c = 4\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(a^6 + 5a^3 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{5}{2 \cdot 1}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 6.25 - 4 = 2.25 \][/tex]
Entonces, hay que sumar [tex]\(2.25\)[/tex] al término constante.
### 5. [tex]\(y^4 + 3y^2 + 36\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(3y^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = 3\)[/tex]
- [tex]\(c = 36\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(y^4 + 3y^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{3}{2 \cdot 1}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 36 - 2.25 = 33.75 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(33.75\)[/tex] al término constante.
### 6. [tex]\(m^4 - 6m^2 + 16\)[/tex]
- Término cuadrático: [tex]\(-6m^2\)[/tex]
- [tex]\(a = 1\)[/tex]
- [tex]\(b = -6\)[/tex]
- [tex]\(c = 16\)[/tex]
Queremos encontrar [tex]\(c'\)[/tex] para que [tex]\(m^4 - 6m^2 + c'\)[/tex] sea un cuadrado perfecto:
[tex]\[ c' = \left(\frac{-6}{2 \cdot 1}\right)^2 = \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = (-3)^2 = 9 \][/tex]
La diferencia entre el [tex]\(c\)[/tex] actual y el [tex]\(c'\)[/tex] necesario es:
[tex]\[ 16 - 9 = 7 \][/tex]
Entonces, hay que restar [tex]\(7\)[/tex] al término constante.
En resumen, las sumas o restas necesarias para cada trinomio son:
- [tex]\(n^4 + 2n^2 + 9\)[/tex]: Restar 8.
- [tex]\(4x^2 + 12x + 25\)[/tex]: Restar 22.75.
- [tex]\(9x^4 - 3x^2 + 1\)[/tex]: Restar 0.9722.
- [tex]\(a^6 + 5a^3 + 4\)[/tex]: Sumar 2.25.
- [tex]\(y^4 + 3y^2 + 36\)[/tex]: Restar 33.75.
- [tex]\(m^4 - 6m^2 + 16\)[/tex]: Restar 7.
