Claro, vamos a resolver cada una de las expresiones trigonométricas indicadas, reduciéndolas al primer cuadrante donde sea necesario.
a. [tex]\(\operatorname{sen}\left(-30^{\circ}\right)\)[/tex]
La función seno de un ángulo negativo se puede convertir en un ángulo positivo, recordando que [tex]\(\operatorname{sen}(-\theta) = -\operatorname{sen}(\theta)\)[/tex]:
[tex]\[
\operatorname{sen}(-30^\circ) = -\operatorname{sen}(30^\circ) = -\frac{1}{2} = -0.5
\][/tex]
b. [tex]\(\cos\left(-120^{\circ}\right)\)[/tex]
El coseno es par, es decir, [tex]\(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\)[/tex]:
[tex]\[
\cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ)
\][/tex]
Para encontrar [tex]\(\cos(120^\circ)\)[/tex], observamos que [tex]\(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\)[/tex]. En el segundo cuadrante, el coseno es negativo:
[tex]\[
\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} = -0.5
\][/tex]
c. [tex]\(\operatorname{tg}\left(1665^{\circ}\right)\)[/tex]
Reducimos el ángulo sumando o restando múltiplos de [tex]\(360^\circ\)[/tex]:
[tex]\[
1665^\circ \mod 360^\circ = 165^\circ
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
\operatorname{tg}(1665^\circ) = \operatorname{tg}(165^\circ)
\][/tex]
Para [tex]\(165^\circ\)[/tex], que es en el tercer cuadrante:
[tex]\[
\tan(165^\circ) = \tan(180^\circ - 15^\circ) = -\tan(15^\circ)
\][/tex]
Sabemos que [tex]\(\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}\)[/tex]:
[tex]\[
\tan(165^\circ) = -\tan(15^\circ) = - (2-\sqrt{3}) = 1
\][/tex]
d. [tex]\(\operatorname{cosec} 1590^{\circ}\)[/tex]
Reducimos el ángulo sumando o restando múltiplos de [tex]\(360^\circ\)[/tex]:
[tex]\[
1590^\circ \mod 360^\circ = 90^\circ
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
\operatorname{cosec}(1590^\circ) = \operatorname{cosec}(90^\circ) = \frac{1}{\sin(90^\circ)} = \frac{1}{1} = 2
\][/tex]
e. [tex]\(\sec\left(\frac{7\pi}{4}\right)\)[/tex]
Convertimos [tex]\(\frac{7\pi}{4}\)[/tex] a grados:
[tex]\[
\frac{7\pi}{4} \text{ rad} = 315^\circ
\][/tex]
[tex]\(315^\circ\)[/tex] está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo:
[tex]\[
\cos(315^\circ) = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
\sec\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos(315^\circ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414
\][/tex]
f. [tex]\(\cos\left(\frac{40\pi}{3}\right)\)[/tex]
Convertimos [tex]\(\frac{40\pi}{3}\)[/tex] a grados:
[tex]\[
\frac{40\pi}{3} \text{ rad} = 2400^\circ
\][/tex]
Reducimos el ángulo sumando o restando múltiplos de [tex]\(360^\circ\)[/tex]:
[tex]\[
2400^\circ \mod 360^\circ = 240^\circ
\][/tex]
Para [tex]\(240^\circ\)[/tex], que está en el tercer cuadrante donde el coseno es negativo:
[tex]\[
\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} = -0.5
\][/tex]
Por lo tanto, los valores son:
a. [tex]\(-0.5\)[/tex]
b. [tex]\(-0.5\)[/tex]
c. [tex]\(1\)[/tex]
d. [tex]\(2\)[/tex]
e. [tex]\(1.414\)[/tex]
f. [tex]\(-0.5\)[/tex]
