Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
### a. Determina la ecuación de la trayectoria
Dado el vector de posición [tex]\(\vec{r}(t)=(t-3) \vec{i} + 8 t \vec{j}\)[/tex], se tiene que:
- La componente [tex]\(x\)[/tex] en términos del tiempo [tex]\(t\)[/tex] es:
[tex]\[
x(t) = t - 3
\][/tex]
- La componente [tex]\(y\)[/tex] en términos del tiempo [tex]\(t\)[/tex] es:
[tex]\[
y(t) = 8t
\][/tex]
Para obtener la ecuación de la trayectoria, necesitamos eliminar el parámetro [tex]\(t\)[/tex] de las ecuaciones anteriores y expresar [tex]\(y\)[/tex] en función de [tex]\(x\)[/tex].
Primero, despejamos [tex]\(t\)[/tex] de la ecuación de [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = t - 3 \implies t = x + 3
\][/tex]
Luego, sustituimos esta expresión de [tex]\(t\)[/tex] en la ecuación de [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = 8t \implies y = 8(x + 3) = 8x + 24
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la trayectoria en el plano [tex]\(xy\)[/tex] es:
[tex]\[
y = 8x + 24
\][/tex]
### b. Dibujo aproximado de la trayectoria para [tex]\(0 \leq t \leq 10\)[/tex]
Para dibujar la trayectoria, determinemos algunos puntos específicos evaluando la posición en diferentes instantes de tiempo.
- Cuando [tex]\(t = 0\)[/tex]:
[tex]\[
x(0) = 0 - 3 = -3 \quad \text{y} \quad y(0) = 8(0) = 0
\][/tex]
Punto: [tex]\((-3, 0)\)[/tex]
- Cuando [tex]\(t = 1\)[/tex]:
[tex]\[
x(1) = 1 - 3 = -2 \quad \text{y} \quad y(1) = 8(1) = 8
\][/tex]
Punto: [tex]\((-2, 8)\)[/tex]
- Cuando [tex]\(t = 2\)[/tex]:
[tex]\[
x(2) = 2 - 3 = -1 \quad \text{y} \quad y(2) = 8(2) = 16
\][/tex]
Punto: [tex]\((-1, 16)\)[/tex]
- Cuando [tex]\(t = 3\)[/tex]:
[tex]\[
x(3) = 3 - 3 = 0 \quad \text{y} \quad y(3) = 8(3) = 24
\][/tex]
Punto: [tex]\((0, 24)\)[/tex]
- Cuando [tex]\(t = 10\)[/tex]:
[tex]\[
x(10) = 10 - 3 = 7 \quad \text{y} \quad y(10) = 8(10) = 80
\][/tex]
Punto: [tex]\((7, 80)\)[/tex]
Ahora, podemos dibujar la línea que pasa por estos puntos. La ecuación [tex]\(y = 8x + 24\)[/tex] es una recta, y los puntos obtenidos corroboran esta trayectoria linear.
### Dibujo:
En el plano cartesiano, marcamos los siguientes puntos y trazamos la línea recta:
- [tex]\((-3, 0)\)[/tex]
- [tex]\((-2, 8)\)[/tex]
- [tex]\((-1, 16)\)[/tex]
- [tex]\((0, 24)\)[/tex]
- [tex]\((7, 80)\)[/tex]
Un esbozo gráfico de la trayectoria será una recta que atraviesa estos puntos, con intercepción en el eje [tex]\(y\)[/tex] en [tex]\(y=24\)[/tex] cuando [tex]\(x=0\)[/tex].
Así, la gráfica nos muestra que para [tex]\((0 \leq t \leq 10)\)[/tex], la línea se extiende desde el punto [tex]\((-3, 0)\)[/tex] hasta el punto [tex]\((7, 80)\)[/tex] ascendiendo linealmente.
