Để tính [tex]$\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$[/tex] với [tex]$\sin \alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$[/tex] và [tex]$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$[/tex], chúng ta cần làm theo các bước sau:
1. Xác định [tex]$\cos \alpha$[/tex]:
- Biết rằng [tex]$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$[/tex].
- Suy ra [tex]$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$[/tex].
- Thay [tex]$\sin \alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$[/tex] vào, ta có:
[tex]\[
\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{13}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{13}{49} = \frac{36}{49}.
\][/tex]
- Vì [tex]$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$[/tex] nên [tex]$\cos \alpha$[/tex] dương, do đó:
[tex]\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7}.
\][/tex]
2. Sử dụng công thức cộng góc cho cosine:
- Biết rằng:
[tex]\[
\cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6}.
\][/tex]
- Giá trị của [tex]$\cos \frac{\pi}{6}$[/tex] là [tex]$\frac{\sqrt{3}}{2}$[/tex] và [tex]$\sin \frac{\pi}{6}$[/tex] là [tex]$\frac{1}{2}$[/tex].
3. Thay các giá trị cụ thể vào công thức:
- Thay [tex]$\cos \alpha = \frac{6}{7}$[/tex], [tex]$\sin \alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$[/tex], [tex]$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$[/tex] và [tex]$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$[/tex] vào công thức ta có:
[tex]\[
\cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) = \left(\frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{1}{2}\right).
\][/tex]
4. Tính toán kết quả:
- Ta tính từng thành phần:
[tex]\[
\frac{6}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{7},
\][/tex]
[tex]\[
\frac{\sqrt{13}}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{13}}{14}.
\][/tex]
- Kết hợp lại, ta có:
[tex]\[
\cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{7} - \frac{\sqrt{13}}{14}.
\][/tex]
- Để đưa về cùng mẫu số:
[tex]\[
\cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) = \frac{6\sqrt{3} - \sqrt{13}}{14}.
\][/tex]
Cuối cùng, giá trị của [tex]$\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$[/tex] là xấp xỉ 0.4848.
