Para encontrar el perímetro del triángulo con vértices en los puntos [tex]\(O(0,0)\)[/tex], [tex]\(A(1,1)\)[/tex] y [tex]\(B(-4,-7)\)[/tex], realizamos los siguientes pasos:
1. Calcular la distancia entre los puntos O y A:
Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], que es:
[tex]\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\][/tex]
Aplicando esta fórmula para [tex]\(O(0,0)\)[/tex] y [tex]\(A(1,1)\)[/tex]:
[tex]\[
OA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.4142135623730951
\][/tex]
2. Calcular la distancia entre los puntos O y B:
Aplicamos la fórmula de la distancia para [tex]\(O(0,0)\)[/tex] y [tex]\(B(-4,-7)\)[/tex]:
[tex]\[
OB = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06225774829855
\][/tex]
3. Calcular la distancia entre los puntos A y B:
Aplicamos la fórmula de la distancia para [tex]\(A(1,1)\)[/tex] y [tex]\(B(-4,-7)\)[/tex]:
[tex]\[
AB = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9.433981132056603
\][/tex]
4. Calcular el perímetro del triángulo:
El perímetro es la suma de las longitudes de los lados del triángulo:
[tex]\[
\text{Perímetro} = OA + OB + AB \approx 1.4142135623730951 + 8.06225774829855 + 9.433981132056603 = 18.91045244272825
\][/tex]
Por lo tanto, el perímetro del triángulo con vértices en los puntos [tex]\(O(0,0)\)[/tex], [tex]\(A(1,1)\)[/tex] y [tex]\(B(-4,-7)\)[/tex] es aproximadamente 18.91 unidades.
