Answer :
¡Claro! Vamos a resolver el problema paso a paso.
### a) Las longitudes de los lados
Para calcular la longitud de los lados de un cuadrilátero con vértices en los puntos [tex]\(A(0, 0)\)[/tex], [tex]\(B(1, 1)\)[/tex], [tex]\(C(4, 7)\)[/tex] y [tex]\(D(5, 0)\)[/tex], usamos la fórmula de distancia euclidiana entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
1. Longitud del lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414 \][/tex]
2. Longitud del lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \approx 6.708 \][/tex]
3. Longitud del lado [tex]\(CD\)[/tex]:
[tex]\[ CD = \sqrt{(5 - 4)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7.071 \][/tex]
4. Longitud del lado [tex]\(DA\)[/tex]:
[tex]\[ DA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.000 \][/tex]
### b) Las longitudes de las diagonales
Para calcular las diagonales [tex]\(AC\)[/tex] y [tex]\(BD\)[/tex]:
1. Longitud de la diagonal [tex]\(AC\)[/tex]:
[tex]\[ AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.062 \][/tex]
2. Longitud de la diagonal [tex]\(BD\)[/tex]:
[tex]\[ BD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.123 \][/tex]
### c) El perímetro del cuadrilátero
El perímetro del cuadrilátero es la suma de las longitudes de sus lados:
[tex]\[ \text{Perímetro} = AB + BC + CD + DA \][/tex]
[tex]\[ \text{Perímetro} = 1.414 + 6.708 + 7.071 + 5.000 \approx 20.193 \][/tex]
### d) El área del cuadrilátero
Para calcular el área del cuadrilátero, descompondremos el cuadrilátero en dos triángulos, [tex]\( \triangle ABC \)[/tex] y [tex]\( \triangle ADC \)[/tex], y sumaremos sus áreas. Usaremos la fórmula de área para un triángulo con vértices en [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex], [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], [tex]\((x_3, y_3)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \][/tex]
1. Área del triángulo [tex]\( \triangle ABC \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 0(1 - 7) + 1(7 - 0) + 4(0 - 1) \right| \][/tex]
[tex]\[ \text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 7 - 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 3 \right| = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \][/tex]
2. Área del triángulo [tex]\( \triangle ADC \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Área}_{ADC} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - 7) + 5(7 - 0) + 4(0 - 0) \right| \][/tex]
[tex]\[ \text{Área}_{ADC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 35 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 35 = 17.5 \][/tex]
3. Área total del cuadrilátero:
[tex]\[ \text{Área total} = \text{Área}_{ABC} + \text{Área}_{ADC} \][/tex]
[tex]\[ \text{Área total} = 1.5 + 17.5 = 19.0 \][/tex]
Así, las respuestas son:
- Longitudes de los lados: [tex]\(AB \approx 1.414\)[/tex], [tex]\(BC \approx 6.708\)[/tex], [tex]\(CD \approx 7.071\)[/tex], [tex]\(DA = 5.000\)[/tex]
- Longitudes de las diagonales: [tex]\(AC \approx 8.062\)[/tex], [tex]\(BD \approx 4.123\)[/tex]
- Perímetro: [tex]\(\approx 20.193\)[/tex]
- Área: [tex]\(19.0\)[/tex]
### a) Las longitudes de los lados
Para calcular la longitud de los lados de un cuadrilátero con vértices en los puntos [tex]\(A(0, 0)\)[/tex], [tex]\(B(1, 1)\)[/tex], [tex]\(C(4, 7)\)[/tex] y [tex]\(D(5, 0)\)[/tex], usamos la fórmula de distancia euclidiana entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \][/tex]
1. Longitud del lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414 \][/tex]
2. Longitud del lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \approx 6.708 \][/tex]
3. Longitud del lado [tex]\(CD\)[/tex]:
[tex]\[ CD = \sqrt{(5 - 4)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7.071 \][/tex]
4. Longitud del lado [tex]\(DA\)[/tex]:
[tex]\[ DA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.000 \][/tex]
### b) Las longitudes de las diagonales
Para calcular las diagonales [tex]\(AC\)[/tex] y [tex]\(BD\)[/tex]:
1. Longitud de la diagonal [tex]\(AC\)[/tex]:
[tex]\[ AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.062 \][/tex]
2. Longitud de la diagonal [tex]\(BD\)[/tex]:
[tex]\[ BD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.123 \][/tex]
### c) El perímetro del cuadrilátero
El perímetro del cuadrilátero es la suma de las longitudes de sus lados:
[tex]\[ \text{Perímetro} = AB + BC + CD + DA \][/tex]
[tex]\[ \text{Perímetro} = 1.414 + 6.708 + 7.071 + 5.000 \approx 20.193 \][/tex]
### d) El área del cuadrilátero
Para calcular el área del cuadrilátero, descompondremos el cuadrilátero en dos triángulos, [tex]\( \triangle ABC \)[/tex] y [tex]\( \triangle ADC \)[/tex], y sumaremos sus áreas. Usaremos la fórmula de área para un triángulo con vértices en [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex], [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], [tex]\((x_3, y_3)\)[/tex]:
[tex]\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \][/tex]
1. Área del triángulo [tex]\( \triangle ABC \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 0(1 - 7) + 1(7 - 0) + 4(0 - 1) \right| \][/tex]
[tex]\[ \text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 7 - 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 3 \right| = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \][/tex]
2. Área del triángulo [tex]\( \triangle ADC \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Área}_{ADC} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - 7) + 5(7 - 0) + 4(0 - 0) \right| \][/tex]
[tex]\[ \text{Área}_{ADC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 35 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 35 = 17.5 \][/tex]
3. Área total del cuadrilátero:
[tex]\[ \text{Área total} = \text{Área}_{ABC} + \text{Área}_{ADC} \][/tex]
[tex]\[ \text{Área total} = 1.5 + 17.5 = 19.0 \][/tex]
Así, las respuestas son:
- Longitudes de los lados: [tex]\(AB \approx 1.414\)[/tex], [tex]\(BC \approx 6.708\)[/tex], [tex]\(CD \approx 7.071\)[/tex], [tex]\(DA = 5.000\)[/tex]
- Longitudes de las diagonales: [tex]\(AC \approx 8.062\)[/tex], [tex]\(BD \approx 4.123\)[/tex]
- Perímetro: [tex]\(\approx 20.193\)[/tex]
- Área: [tex]\(19.0\)[/tex]
