Answer :
Claro, vamos a analizar los trinomios dados y determinar qué se debe sumar o restar al segundo término para que se conviertan en cuadrados perfectos.
### 1. [tex]\( n^4 + 2n^2 + 9 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma de [tex]\((an^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (an^2 + b)^2 = a^2n^4 + 2abn^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( n^4 + 2n^2 + 9 \)[/tex]:
[tex]\[ n^4 + 2n^2 + 9 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(2ab = 2\)[/tex], y [tex]\(b^2 = 9\)[/tex]. No hay necesidad de realizar ninguna modificación al segundo término.
### 2. [tex]\( 4x^2 + 12x + 25 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((ax + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( 4x^2 + 12x + 25 \)[/tex]:
[tex]\[ a^2 = 4 \\ 2ab = 12 \\ b^2 = 25 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 2\)[/tex], [tex]\(2ab = 12 \rightarrow b = 3\)[/tex], [tex]\(b^2 = 25\)[/tex]. No hay necesidad de realizar ninguna modificación al segundo término.
### 3. [tex]\( 9x^4 - 3x^2 + 1 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((ax^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (ax^2 + b)^2 = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( 9x^4 - 3x^2 + 1 \)[/tex]:
[tex]\[ 9x^4 - 3x^2 + 1 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 3\)[/tex], [tex]\(2ab \neq -3\)[/tex], lo cual indica que el término del medio no se ajusta para ser un cuadrado perfecto.
### 4. [tex]\( a^6 + 5a^3 + 4 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((a^3 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (a^3 + b)^2 = a^6 + 2a^3b + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( a^6 + 5a^3 + 4 \)[/tex]:
[tex]\[ a^6 + 5a^3 + 4 \][/tex]
Aquí, para [tex]\(2ab\)[/tex] ser igual a 5, no ajustamos el término del medio para ser un cuadrado perfecto.
### 5. [tex]\( y^4 + 3y^2 + 36 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((ay^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (ay^2 + b)^2 = a^2y^4 + 2aby^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( y^4 + 3y^2 + 36 \)[/tex]:
[tex]\[ y^4 + 3y^2 + 36 \][/tex]
Aquí [tex]\(a \neq 1\)[/tex], [tex]\(2ab \neq 3\)[/tex], lo cual indica que el término del medio no se ajusta para ser un cuadrado perfecto.
### 6. [tex]\( m^4 - 6m^2 + 16 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((am^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (am^2 + b)^2 = a^2m^4 + 2abm^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( m^4 - 6m^2 + 16 \)[/tex]:
[tex]\[ m^4 - 6m^2 + 16 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(2ab = -6\)[/tex], y [tex]\(b^2 = 16\)[/tex]. No hay necesidad de realizar ninguna modificación al segundo término.
Por lo tanto, no se requiere ninguna cantidad para sumarse o restarse al segundo término en cada uno para que sean cuadrados perfectos.
### 1. [tex]\( n^4 + 2n^2 + 9 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma de [tex]\((an^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (an^2 + b)^2 = a^2n^4 + 2abn^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( n^4 + 2n^2 + 9 \)[/tex]:
[tex]\[ n^4 + 2n^2 + 9 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(2ab = 2\)[/tex], y [tex]\(b^2 = 9\)[/tex]. No hay necesidad de realizar ninguna modificación al segundo término.
### 2. [tex]\( 4x^2 + 12x + 25 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((ax + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( 4x^2 + 12x + 25 \)[/tex]:
[tex]\[ a^2 = 4 \\ 2ab = 12 \\ b^2 = 25 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 2\)[/tex], [tex]\(2ab = 12 \rightarrow b = 3\)[/tex], [tex]\(b^2 = 25\)[/tex]. No hay necesidad de realizar ninguna modificación al segundo término.
### 3. [tex]\( 9x^4 - 3x^2 + 1 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((ax^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (ax^2 + b)^2 = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( 9x^4 - 3x^2 + 1 \)[/tex]:
[tex]\[ 9x^4 - 3x^2 + 1 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 3\)[/tex], [tex]\(2ab \neq -3\)[/tex], lo cual indica que el término del medio no se ajusta para ser un cuadrado perfecto.
### 4. [tex]\( a^6 + 5a^3 + 4 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((a^3 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (a^3 + b)^2 = a^6 + 2a^3b + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( a^6 + 5a^3 + 4 \)[/tex]:
[tex]\[ a^6 + 5a^3 + 4 \][/tex]
Aquí, para [tex]\(2ab\)[/tex] ser igual a 5, no ajustamos el término del medio para ser un cuadrado perfecto.
### 5. [tex]\( y^4 + 3y^2 + 36 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((ay^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (ay^2 + b)^2 = a^2y^4 + 2aby^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( y^4 + 3y^2 + 36 \)[/tex]:
[tex]\[ y^4 + 3y^2 + 36 \][/tex]
Aquí [tex]\(a \neq 1\)[/tex], [tex]\(2ab \neq 3\)[/tex], lo cual indica que el término del medio no se ajusta para ser un cuadrado perfecto.
### 6. [tex]\( m^4 - 6m^2 + 16 \)[/tex]:
Para que este trinomio sea un cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\((am^2 + b)^2\)[/tex].
[tex]\[ (am^2 + b)^2 = a^2m^4 + 2abm^2 + b^2 \][/tex]
Comparando con [tex]\( m^4 - 6m^2 + 16 \)[/tex]:
[tex]\[ m^4 - 6m^2 + 16 \][/tex]
Aquí [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(2ab = -6\)[/tex], y [tex]\(b^2 = 16\)[/tex]. No hay necesidad de realizar ninguna modificación al segundo término.
Por lo tanto, no se requiere ninguna cantidad para sumarse o restarse al segundo término en cada uno para que sean cuadrados perfectos.
