Resolveremos cada uno de los sistemas de ecuaciones dados por el método de reducción y determinaremos si tienen una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
### Sistema 1
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
-2x + y = -8 \\
x - \frac{1}{2}y = 4
\end{array}\right.
\][/tex]
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para facilitar la eliminación de [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
2\left(x - \frac{1}{2}y = 4\right) \implies 2x - y = 8
\][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
-2x + y = -8 \\
2x - y = 8
\end{array}\right.
\][/tex]
Sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[
(-2x + y) + (2x - y) = -8 + 8 \implies 0 = 0
\][/tex]
Esto produce una ecuación 0 = 0, lo que indica que las dos ecuaciones son inconsistentes, ya que contradictoriamente se simplifican a una verdad obvia sin relación directa con [tex]\(x\)[/tex] o [tex]\(y\)[/tex].
Resultado: No tiene solución para el sistema 1.
### Sistema 2
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
5x + 3y = 4 \\
3x - 2y = 10
\end{array}\right.
\][/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para que podamos eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
2(5x + 3y = 4) \implies 10x + 6y = 8\\
3(3x - 2y = 10) \implies 9x - 6y = 30
\][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
10x + 6y = 8 \\
9x - 6y = 30
\end{array}\right.
\][/tex]
Sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[
(10x + 6y) + (9x - 6y) = 8 + 30 \implies 19x = 38 \implies x = 2
\][/tex]
Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
5(2) + 3y = 4 \implies 10 + 3y = 4 \implies 3y = -6 \implies y = -2
\][/tex]
Resultado: Tiene una solución [tex]\(x = 2\)[/tex] e [tex]\(y = -2\)[/tex].
### Sistema 3
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
x + 3y = 2 \\
2x + 6y = -3
\end{array}\right.
\][/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por 2:
[tex]\[
2(x + 3y = 2) \implies 2x + 6y = 4
\][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
2x + 6y = 4 \\
2x + 6y = -3
\end{array}\right.
\][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[
(2x + 6y) - (2x + 6y) = 4 - (-3) \implies 0 = 7
\][/tex]
Esto produce una contradicción [tex]\(0 = 7\)[/tex], una inconsistencia.
Resultado: No tiene solución para el sistema 3.
### Conclusión
- Sistema 1: No tiene solución.
- Sistema 2: Tiene una solución.
- Sistema 3: No tiene solución.
La asociación con los resultados obtenidos es la siguiente:
1. [tex]$\left\{\begin{array}{l}
-2 x + y = -8 \\
x - \frac{1}{2} y = 4
\end{array}\right.$[/tex] -> No tiene solución.
2. [tex]$\left\{\begin{array}{l}
5 x + 3 y = 4 \\
3 x - 2 y = 10
\end{array}\right.$[/tex] -> Tiene una solución.
3. [tex]$\left\{\begin{array}{l}
x + 3 y = 2 \\
2 x + 6 y = -3
\end{array}\right.$[/tex] -> No tiene solución.
