Answer :
Vamos a desglosar la solución paso a paso para encontrar los conjuntos [tex]\(U\)[/tex], [tex]\(A\)[/tex], [tex]\(B\)[/tex], [tex]\(C\)[/tex], [tex]\(D\)[/tex] y [tex]\(E\)[/tex] dados y ver las operaciones entre estos conjuntos.
1. Conjunto [tex]\( U \)[/tex]:
[tex]\( U \)[/tex] es el conjunto universal de los números naturales menores o iguales a 15. Esto es:
[tex]\[ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} \][/tex]
2. Conjunto [tex]\( A \)[/tex]:
[tex]\( A \)[/tex] está definido por la expresión [tex]\( x^2 + 3 \)[/tex] donde [tex]\( x \)[/tex] es un entero [tex]\( (Z) \)[/tex] entre 0 y 3 (ambos inclusive).
Entonces, calculando específicamente para [tex]\( x = 0, 1, 2, 3 \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{align*} x = 0, & \quad x^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3 \\ x = 1, & \quad x^2 + 3 = 1^2 + 3 = 4 \\ x = 2, & \quad x^2 + 3 = 2^2 + 3 = 7 \\ x = 3, & \quad x^2 + 3 = 3^2 + 3 = 12 \\ \end{align*} \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ A = \{3, 4, 12, 7\} \][/tex]
3. Conjunto [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\( B \)[/tex] está definido por la expresión [tex]\( \frac{2x - 1}{5} \)[/tex] donde el resultado debe ser un número natural (N) y [tex]\( x \leq 13 \)[/tex]. Los valores de [tex]\( x \)[/tex] que hacen que [tex]\( \frac{2x - 1}{5} \)[/tex] sea un número natural dentro de ese rango son:
[tex]\[ \begin{align*} x = 3, & \quad \frac{2 \cdot 3 - 1}{5} = \frac{5}{5} = 1 \\ x = 8, & \quad \frac{2 \cdot 8 - 1}{5} = \frac{15}{5} = 3 \\ x = 13, & \quad \frac{2 \cdot 13 - 1}{5} = \frac{25}{5} = 5 \\ \end{align*} \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ B = \{1, 3, 5\} \][/tex]
4. Conjunto [tex]\( C \)[/tex]:
[tex]\( C \)[/tex] se da explícitamente como:
[tex]\[ C = \{1, 3, 5, 7, 9, 12\} \][/tex]
5. Conjunto [tex]\( D \)[/tex]:
[tex]\( D \)[/tex] está definido por [tex]\( x \in N \)[/tex] tal que [tex]\( 32 < 4x < 60 \)[/tex] y [tex]\( x \)[/tex] es un número compuesto. Los números [tex]\( x \)[/tex] que cumplen con [tex]\( 8 < x < 15 \)[/tex] y son compuestos son:
[tex]\[ x = 9, 10, 12, 14 \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ D = \{9, 10, 12, 14\} \][/tex]
6. Conjunto [tex]\( E \)[/tex]:
[tex]\( E \)[/tex] está definido por [tex]\( 3x - 5 \in N \)[/tex] para [tex]\( 0 < x < 6 \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{align*} x = 1, & \quad 3 \cdot 1 - 5 = -2 \\ x = 2, & \quad 3 \cdot 2 - 5 = 1 \\ x = 3, & \quad 3 \cdot 3 - 5 = 4 \\ x = 4, & \quad 3 \cdot 4 - 5 = 7 \\ x = 5, & \quad 3 \cdot 5 - 5 = 10 \\ \end{align*} \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ E = \{1, 4, 7, 10, -2\} \][/tex]
Finalmente, la lista completa de conjuntos es:
- [tex]\( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} \)[/tex]
- [tex]\( A = \{3, 4, 12, 7\} \)[/tex]
- [tex]\( B = \{1, 3, 5\} \)[/tex]
- [tex]\( C = \{1, 3, 5, 7, 9, 12\} \)[/tex]
- [tex]\( D = \{9, 10, 12, 14\} \)[/tex]
- [tex]\( E = \{1, 4, 7, 10, -2\} \)[/tex]
Ahora, procedemos a realizar las operaciones solicitadas entre estos conjuntos según las indicaciones específicas que se nos den en problemas adicionales, si hay alguno.
1. Conjunto [tex]\( U \)[/tex]:
[tex]\( U \)[/tex] es el conjunto universal de los números naturales menores o iguales a 15. Esto es:
[tex]\[ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} \][/tex]
2. Conjunto [tex]\( A \)[/tex]:
[tex]\( A \)[/tex] está definido por la expresión [tex]\( x^2 + 3 \)[/tex] donde [tex]\( x \)[/tex] es un entero [tex]\( (Z) \)[/tex] entre 0 y 3 (ambos inclusive).
Entonces, calculando específicamente para [tex]\( x = 0, 1, 2, 3 \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{align*} x = 0, & \quad x^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3 \\ x = 1, & \quad x^2 + 3 = 1^2 + 3 = 4 \\ x = 2, & \quad x^2 + 3 = 2^2 + 3 = 7 \\ x = 3, & \quad x^2 + 3 = 3^2 + 3 = 12 \\ \end{align*} \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ A = \{3, 4, 12, 7\} \][/tex]
3. Conjunto [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\( B \)[/tex] está definido por la expresión [tex]\( \frac{2x - 1}{5} \)[/tex] donde el resultado debe ser un número natural (N) y [tex]\( x \leq 13 \)[/tex]. Los valores de [tex]\( x \)[/tex] que hacen que [tex]\( \frac{2x - 1}{5} \)[/tex] sea un número natural dentro de ese rango son:
[tex]\[ \begin{align*} x = 3, & \quad \frac{2 \cdot 3 - 1}{5} = \frac{5}{5} = 1 \\ x = 8, & \quad \frac{2 \cdot 8 - 1}{5} = \frac{15}{5} = 3 \\ x = 13, & \quad \frac{2 \cdot 13 - 1}{5} = \frac{25}{5} = 5 \\ \end{align*} \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ B = \{1, 3, 5\} \][/tex]
4. Conjunto [tex]\( C \)[/tex]:
[tex]\( C \)[/tex] se da explícitamente como:
[tex]\[ C = \{1, 3, 5, 7, 9, 12\} \][/tex]
5. Conjunto [tex]\( D \)[/tex]:
[tex]\( D \)[/tex] está definido por [tex]\( x \in N \)[/tex] tal que [tex]\( 32 < 4x < 60 \)[/tex] y [tex]\( x \)[/tex] es un número compuesto. Los números [tex]\( x \)[/tex] que cumplen con [tex]\( 8 < x < 15 \)[/tex] y son compuestos son:
[tex]\[ x = 9, 10, 12, 14 \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ D = \{9, 10, 12, 14\} \][/tex]
6. Conjunto [tex]\( E \)[/tex]:
[tex]\( E \)[/tex] está definido por [tex]\( 3x - 5 \in N \)[/tex] para [tex]\( 0 < x < 6 \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{align*} x = 1, & \quad 3 \cdot 1 - 5 = -2 \\ x = 2, & \quad 3 \cdot 2 - 5 = 1 \\ x = 3, & \quad 3 \cdot 3 - 5 = 4 \\ x = 4, & \quad 3 \cdot 4 - 5 = 7 \\ x = 5, & \quad 3 \cdot 5 - 5 = 10 \\ \end{align*} \][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[ E = \{1, 4, 7, 10, -2\} \][/tex]
Finalmente, la lista completa de conjuntos es:
- [tex]\( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\} \)[/tex]
- [tex]\( A = \{3, 4, 12, 7\} \)[/tex]
- [tex]\( B = \{1, 3, 5\} \)[/tex]
- [tex]\( C = \{1, 3, 5, 7, 9, 12\} \)[/tex]
- [tex]\( D = \{9, 10, 12, 14\} \)[/tex]
- [tex]\( E = \{1, 4, 7, 10, -2\} \)[/tex]
Ahora, procedemos a realizar las operaciones solicitadas entre estos conjuntos según las indicaciones específicas que se nos den en problemas adicionales, si hay alguno.
