Para resolver este problema, necesitamos graficar la función a trozos dada y analizar los límites en los puntos donde la función cambia de expresión. Los puntos de interés son [tex]\(x = -1\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex].
### Paso 1: Definir y graficar cada trozo de la función
La función [tex]\(f(x)\)[/tex] está definida como:
[tex]\[
f(x) = \begin{cases}
1 + x & \text{si } x < -1 \\
x^2 & \text{si } -1 \leq x < 1 \\
2 - x & \text{si } x \geqslant 1
\end{cases}
\][/tex]
- Intervalo [tex]\(x < -1\)[/tex]: Aquí la función es [tex]\(f(x) = 1 + x\)[/tex].
- Intervalo [tex]\(-1 \leq x < 1\)[/tex]: Aquí la función es [tex]\(f(x) = x^2\)[/tex].
- Intervalo [tex]\(x \geq 1\)[/tex]: Aquí la función es [tex]\(f(x) = 2 - x\)[/tex].
### Paso 2: Analizar los límites en los puntos [tex]\(x = -1\)[/tex] y [tex]\(x = 1\)[/tex]
Para que el límite de [tex]\(f(x)\)[/tex] exista en un punto [tex]\(a\)[/tex], el límite de [tex]\(f(x)\)[/tex] cuando [tex]\(x\)[/tex] tiende a [tex]\(a\)[/tex] desde la izquierda ([tex]\( \lim_{x \to a^-} f(x)\)[/tex]) debe ser igual al límite de [tex]\(f(x)\)[/tex] cuando [tex]\(x\)[/tex] tiende a [tex]\(a\)[/tex] desde la derecha ([tex]\( \lim_{x \to a^+} f(x)\)[/tex]).
#### 2.1 Punto [tex]\(x = -1\)[/tex]
- Límite por la izquierda ([tex]\( x \to -1^- \)[/tex]):
[tex]\[
\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (1 + x) = 1 + (-1) = 0
\][/tex]
- Límite por la derecha ([tex]\( x \to -1^+ \)[/tex]):
[tex]\[
\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1
\][/tex]
Dado que los límites por la izquierda y por la derecha en [tex]\(x = -1\)[/tex] no son iguales (0 ≠ 1), el límite [tex]\(\lim_{x \to -1} f(x)\)[/tex] no existe en [tex]\(x = -1\)[/tex].
#### 2.2 Punto [tex]\(x = 1\)[/tex]
- Límite por la izquierda ([tex]\( x \to 1^- \)[/tex]):
[tex]\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1
\][/tex]
- Límite por la derecha ([tex]\( x \to 1^+ \)[/tex]):
[tex]\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1
\][/tex]
Dado que los límites por la izquierda y por la derecha en [tex]\(x = 1\)[/tex] son iguales (1 = 1), el límite [tex]\(\lim_{x \to 1} f(x)\)[/tex] existe y vale 1 en [tex]\(x = 1\)[/tex].
### Conclusión
El límite de [tex]\(f(x)\)[/tex] existe en [tex]\(x = 1\)[/tex] pero no en [tex]\(x = -1\)[/tex].
