Answer :
Para determinar los valores de [tex]\(x\)[/tex] en los cuales [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe, necesitamos examinar el comportamiento de los límites laterales de las funciones dadas. [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe si y solo si [tex]\(\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)\)[/tex] y [tex]\(\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)\)[/tex] existen y son iguales.
### Función 11:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{si } x < -1 \\ x^2 & \text{si } -1 < x < 1 \\ 2 - x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \][/tex]
1. Para [tex]\( x < -1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 1 + x \][/tex]
2. Para [tex]\( -1 < x < 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = x^2 \][/tex]
3. Para [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2 - x \][/tex]
Primero, evaluamos los puntos críticos donde las definiciones de la función cambian, es decir, en [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].
#### En [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (1 + x) = 1 + (-1) = 0 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1 \][/tex]
Los límites no son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow -1} f(x)\)[/tex] no existe.
#### En [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1 \][/tex]
Los límites son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow 1} f(x)\)[/tex] existe y es 1.
### Función 12:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} 1 + \sin x & \text{si } x < 0 \\ \cos x & \text{si } 0 \leq x \leq \pi \\ \sin x & \text{si } x > \pi \end{cases} \][/tex]
Primero, evaluamos los puntos críticos donde las definiciones de la función cambian, es decir, en [tex]\( x = 0 \)[/tex] y [tex]\( x = \pi \)[/tex].
#### En [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \sin x) = 1 + \sin(0) = 1 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos(0) = 1 \][/tex]
Los límites son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\)[/tex] existe y es 1.
#### En [tex]\( x = \pi \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \cos x = \cos(\pi) = -1 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} \sin x = \sin(\pi) = 0 \][/tex]
Los límites no son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow \pi} f(x)\)[/tex] no existe.
### Conclusión:
Para la función 11, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\(x\)[/tex], excepto en [tex]\(x = -1\)[/tex].
Para la función 12, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\(x\)[/tex], excepto en [tex]\(x = \pi\)[/tex].
### Función 11:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{si } x < -1 \\ x^2 & \text{si } -1 < x < 1 \\ 2 - x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \][/tex]
1. Para [tex]\( x < -1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 1 + x \][/tex]
2. Para [tex]\( -1 < x < 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = x^2 \][/tex]
3. Para [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2 - x \][/tex]
Primero, evaluamos los puntos críticos donde las definiciones de la función cambian, es decir, en [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = 1 \)[/tex].
#### En [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (1 + x) = 1 + (-1) = 0 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x^2 = (-1)^2 = 1 \][/tex]
Los límites no son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow -1} f(x)\)[/tex] no existe.
#### En [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1 = 1 \][/tex]
Los límites son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow 1} f(x)\)[/tex] existe y es 1.
### Función 12:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} 1 + \sin x & \text{si } x < 0 \\ \cos x & \text{si } 0 \leq x \leq \pi \\ \sin x & \text{si } x > \pi \end{cases} \][/tex]
Primero, evaluamos los puntos críticos donde las definiciones de la función cambian, es decir, en [tex]\( x = 0 \)[/tex] y [tex]\( x = \pi \)[/tex].
#### En [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \sin x) = 1 + \sin(0) = 1 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos(0) = 1 \][/tex]
Los límites son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\)[/tex] existe y es 1.
#### En [tex]\( x = \pi \)[/tex]:
- Límite izquierdo:
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \cos x = \cos(\pi) = -1 \][/tex]
- Límite derecho:
[tex]\[ \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} \sin x = \sin(\pi) = 0 \][/tex]
Los límites no son iguales, por lo tanto, [tex]\(\lim_{x \rightarrow \pi} f(x)\)[/tex] no existe.
### Conclusión:
Para la función 11, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\(x\)[/tex], excepto en [tex]\(x = -1\)[/tex].
Para la función 12, [tex]\(\lim_{x \rightarrow a} f(x)\)[/tex] existe para todos los valores de [tex]\(x\)[/tex], excepto en [tex]\(x = \pi\)[/tex].
