Answer :
(क) [tex]$i$[/tex] ले के जनाउँछ।
सूत्र [tex]$\left( M _{ d }\right)= L +\frac{\frac{N}{2}-c . f}{f} \times i$[/tex] मा, [tex]$i$[/tex] ले निश्चित वर्ग अन्तराल (class interval) को फरकलाई जनाउँछ। हामीलाई वर्ग अन्तरालको सीमा फरक चाहिन्छ। उदाहरणको लागि, वर्ग 0-10 मा [tex]$i = 10 - 0 = 10$[/tex] हुन्छ।
(ख) दिइएको तथ्याड्कबाट मध्यिका पत्ता लगाउनुहोस्।
- विद्यार्थीहरूको कुल संख्या [tex]$N = 40$[/tex] छ।
- हामीलाई मध्यिका पत्ता लगाउनुछ।
तथा हामीला सुरुमा सञ्चित बारम्बारता (cumulative frequency) पत्ता लगाउनु पर्छ:
- [tex]$0-10$[/tex] सम्म: 4
- [tex]$10-20$[/tex] सम्म: 4 + 6 = 10
- [tex]$20-30$[/tex] सम्म: 10 + 8 = 18
- [tex]$30-40$[/tex] सम्म: 18 + 5 = 23
- [tex]$40-50$[/tex] सम्म: 23 + 7 = 30
- [tex]$50-60$[/tex] सम्म: 30 + 10 = 40
- यसकारण, [tex]$N/2 = 40/2 = 20$[/tex]
[tex]$20$[/tex] सञ्चय आन्त्र मध्यमा परेको वर्ग हो।
[tex]$c.f \le 20$[/tex] को पहिलो वर्ग [tex]$20-30$[/tex] वर्ग हुन्छ। तसर्थ:
- [tex]$L = 30$[/tex] (मध्येको वर्गको तल्लो सीमा)
- [tex]$f = 5$[/tex] (मध्योको वर्गको बारम्बारता)
- [tex]$c_f = 18$[/tex] (अनुक्रमिक समूहको बारम्बारता)
- [tex]$i = 10$[/tex] (वर्ग अन्तराल)
मध्यिका सूत्र प्रयोग गरेर:
[tex]\[ M_d = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - c_f}{f} \right) \times i \][/tex]
[tex]\[ M_d = 30 + \left( \frac{20 - 18}{5} \right) \times 10 \][/tex]
[tex]\[ M_d = 30 + 2 \times \frac{10}{5} \][/tex]
[tex]\[ M_d = 30 + 2 \times 2 \][/tex]
[tex]\[ M_d = 34 \][/tex]
यसैले, मध्यिका (Median) [tex]$34.0$[/tex] हुन्छ।
(ग) दिइएको तथ्याड्कबाट औसत प्राप्ताङ्क (Average Score) गणना गर्नुहोस्।
औसत प्राप्ताङ्क पत्ता लगाउन, सुलभ माध्यम प्राप्ताङ्कलाई हरेक वर्गका विद्यार्थी संख्यासँग गुणा गर्छौं र त्यसको योगफललाई विद्यार्थीहरूको संख्यासँग भाग दिन्छौं।
- [tex]$0-10$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{0 + 10}{2}\right) \times 4 = 5 \times 4 = 20$[/tex]
- [tex]$10-20$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{10 + 20}{2}\right) \times 6 = 15 \times 6 = 90$[/tex]
- [tex]$20-30$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{20 + 30}{2}\right) \times 8 = 25 \times 8 = 200$[/tex]
- [tex]$30-40$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{30 + 40}{2}\right) \times 5 = 35 \times 5 = 175$[/tex]
- [tex]$40-50$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{40 + 50}{2}\right) \times 7 = 45 \times 7 = 315$[/tex]
- [tex]$50-60$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{50 + 60}{2}\right) \times 10 = 55 \times 10 = 550$[/tex]
कुल प्राप्ताङ्क = [tex]$20 + 90 + 200 + 175 + 315 + 550 = 1350$[/tex]
कुल विद्यार्थी संख्या 40 भएकाले औसत:
[tex]\[ \text{औसत} = \frac{\text{कुल प्राप्ताङ्क}}{\text{विद्यार्थी संख्या }} = \frac{1350}{40} = 33.75 \][/tex]
(घ) औसत प्राप्ताङ्क 30 बनाउन 50-60 वर्गान्तरका विद्यार्थीसंख्या कति हुनु पर्छ?
औसत प्राप्ताङ्क 30 बनाउन, विद्यार्थीहरूको कुल औसत 30 हुनुपर्छ।
[tex]\[ \text{कुल विद्यार्थींको औसत }\times की कुल संख्या = आवश्यक कुल प्राप्ताङ्क \][/tex]
[tex]\[ 30 \times 40 = 1200\][/tex]
बाकी वर्गिलो द्वारा कुल प्राप्ताङ्क:
[tex]\[ 1350 - 550 = 800\][/tex]
[tex]$50-60$[/tex] वर्गको लागि आवश्यक प्राप्ताङ्क:
[tex]\[ 1200 - 800 = 400\][/tex]
[tex]$50-60$[/tex] वर्गमा चाहिने विद्यार्थी संख्या:
[tex]\[ \frac {400}{55} ≈ 7.27\][/tex]
यसैले औसत प्राप्ताङ्क ३० बनाउन ५०-६० वर्गमा ७.२७ विद्यार्थीज=
`')<|vq_8760|>
सूत्र [tex]$\left( M _{ d }\right)= L +\frac{\frac{N}{2}-c . f}{f} \times i$[/tex] मा, [tex]$i$[/tex] ले निश्चित वर्ग अन्तराल (class interval) को फरकलाई जनाउँछ। हामीलाई वर्ग अन्तरालको सीमा फरक चाहिन्छ। उदाहरणको लागि, वर्ग 0-10 मा [tex]$i = 10 - 0 = 10$[/tex] हुन्छ।
(ख) दिइएको तथ्याड्कबाट मध्यिका पत्ता लगाउनुहोस्।
- विद्यार्थीहरूको कुल संख्या [tex]$N = 40$[/tex] छ।
- हामीलाई मध्यिका पत्ता लगाउनुछ।
तथा हामीला सुरुमा सञ्चित बारम्बारता (cumulative frequency) पत्ता लगाउनु पर्छ:
- [tex]$0-10$[/tex] सम्म: 4
- [tex]$10-20$[/tex] सम्म: 4 + 6 = 10
- [tex]$20-30$[/tex] सम्म: 10 + 8 = 18
- [tex]$30-40$[/tex] सम्म: 18 + 5 = 23
- [tex]$40-50$[/tex] सम्म: 23 + 7 = 30
- [tex]$50-60$[/tex] सम्म: 30 + 10 = 40
- यसकारण, [tex]$N/2 = 40/2 = 20$[/tex]
[tex]$20$[/tex] सञ्चय आन्त्र मध्यमा परेको वर्ग हो।
[tex]$c.f \le 20$[/tex] को पहिलो वर्ग [tex]$20-30$[/tex] वर्ग हुन्छ। तसर्थ:
- [tex]$L = 30$[/tex] (मध्येको वर्गको तल्लो सीमा)
- [tex]$f = 5$[/tex] (मध्योको वर्गको बारम्बारता)
- [tex]$c_f = 18$[/tex] (अनुक्रमिक समूहको बारम्बारता)
- [tex]$i = 10$[/tex] (वर्ग अन्तराल)
मध्यिका सूत्र प्रयोग गरेर:
[tex]\[ M_d = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - c_f}{f} \right) \times i \][/tex]
[tex]\[ M_d = 30 + \left( \frac{20 - 18}{5} \right) \times 10 \][/tex]
[tex]\[ M_d = 30 + 2 \times \frac{10}{5} \][/tex]
[tex]\[ M_d = 30 + 2 \times 2 \][/tex]
[tex]\[ M_d = 34 \][/tex]
यसैले, मध्यिका (Median) [tex]$34.0$[/tex] हुन्छ।
(ग) दिइएको तथ्याड्कबाट औसत प्राप्ताङ्क (Average Score) गणना गर्नुहोस्।
औसत प्राप्ताङ्क पत्ता लगाउन, सुलभ माध्यम प्राप्ताङ्कलाई हरेक वर्गका विद्यार्थी संख्यासँग गुणा गर्छौं र त्यसको योगफललाई विद्यार्थीहरूको संख्यासँग भाग दिन्छौं।
- [tex]$0-10$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{0 + 10}{2}\right) \times 4 = 5 \times 4 = 20$[/tex]
- [tex]$10-20$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{10 + 20}{2}\right) \times 6 = 15 \times 6 = 90$[/tex]
- [tex]$20-30$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{20 + 30}{2}\right) \times 8 = 25 \times 8 = 200$[/tex]
- [tex]$30-40$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{30 + 40}{2}\right) \times 5 = 35 \times 5 = 175$[/tex]
- [tex]$40-50$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{40 + 50}{2}\right) \times 7 = 45 \times 7 = 315$[/tex]
- [tex]$50-60$[/tex] को लागि: [tex]$\left(\frac{50 + 60}{2}\right) \times 10 = 55 \times 10 = 550$[/tex]
कुल प्राप्ताङ्क = [tex]$20 + 90 + 200 + 175 + 315 + 550 = 1350$[/tex]
कुल विद्यार्थी संख्या 40 भएकाले औसत:
[tex]\[ \text{औसत} = \frac{\text{कुल प्राप्ताङ्क}}{\text{विद्यार्थी संख्या }} = \frac{1350}{40} = 33.75 \][/tex]
(घ) औसत प्राप्ताङ्क 30 बनाउन 50-60 वर्गान्तरका विद्यार्थीसंख्या कति हुनु पर्छ?
औसत प्राप्ताङ्क 30 बनाउन, विद्यार्थीहरूको कुल औसत 30 हुनुपर्छ।
[tex]\[ \text{कुल विद्यार्थींको औसत }\times की कुल संख्या = आवश्यक कुल प्राप्ताङ्क \][/tex]
[tex]\[ 30 \times 40 = 1200\][/tex]
बाकी वर्गिलो द्वारा कुल प्राप्ताङ्क:
[tex]\[ 1350 - 550 = 800\][/tex]
[tex]$50-60$[/tex] वर्गको लागि आवश्यक प्राप्ताङ्क:
[tex]\[ 1200 - 800 = 400\][/tex]
[tex]$50-60$[/tex] वर्गमा चाहिने विद्यार्थी संख्या:
[tex]\[ \frac {400}{55} ≈ 7.27\][/tex]
यसैले औसत प्राप्ताङ्क ३० बनाउन ५०-६० वर्गमा ७.२७ विद्यार्थीज=
`')<|vq_8760|>
