Vamos a resolver el producto de los dos polinomios dados:
[tex]\[
\left(x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - xy^3 + y^4\right)\left(x^2 - 2y^2 + xy\right).
\][/tex]
Primero, vamos a distribuir cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Es decir, multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio y luego sumamos todos los resultados.
### Paso a paso:
1. [tex]\((x^4) \cdot (x^2)\)[/tex]
2. [tex]\((x^4) \cdot (-2y^2)\)[/tex]
3. [tex]\((x^4) \cdot (xy)\)[/tex]
4. [tex]\((-x^3y) \cdot (x^2)\)[/tex]
5. [tex]\((-x^3y) \cdot (-2y^2)\)[/tex]
6. [tex]\((-x^3y) \cdot (xy)\)[/tex]
7. [tex]\((x^2y^2) \cdot (x^2)\)[/tex]
8. [tex]\((x^2y^2) \cdot (-2y^2)\)[/tex]
9. [tex]\((x^2y^2) \cdot (xy)\)[/tex]
10. [tex]\((-xy^3) \cdot (x^2)\)[/tex]
11. [tex]\((-xy^3) \cdot (-2y^2)\)[/tex]
12. [tex]\((-xy^3) \cdot (xy)\)[/tex]
13. [tex]\((y^4) \cdot (x^2)\)[/tex]
14. [tex]\((y^4) \cdot (-2y^2)\)[/tex]
15. [tex]\((y^4) \cdot (xy)\)[/tex]
Ahora, resolvamos cada una de las multiplicaciones mencionadas paso a paso:
1. [tex]\(x^4 \cdot x^2 = x^{6}\)[/tex]
2. [tex]\(x^4 \cdot (-2y^2) = -2x^4y^2\)[/tex]
3. [tex]\(x^4 \cdot xy = x^5y\)[/tex]
4. [tex]\(-x^3y \cdot x^2 = -x^5y\)[/tex]
5. [tex]\(-x^3y \cdot (-2y^2) = 2x^3y^3\)[/tex]
6. [tex]\(-x^3y \cdot xy = -x^4y^2\)[/tex]
7. [tex]\(x^2y^2 \cdot x^2 = x^4y^2\)[/tex]
8. [tex]\(x^2y^2 \cdot (-2y^2) = -2x^2y^4\)[/tex]
9. [tex]\(x^2y^2 \cdot xy = x^3y^3\)[/tex]
10. [tex]\(-xy^3 \cdot x^2 = -x^3y^3\)[/tex]
11. [tex]\(-xy^3 \cdot (-2y^2) = 2xy^5\)[/tex]
12. [tex]\(-xy^3 \cdot xy = -x^2y^4\)[/tex]
13. [tex]\(y^4 \cdot x^2 = x^2y^4\)[/tex]
14. [tex]\(y^4 \cdot (-2y^2) = -2y^6\)[/tex]
15. [tex]\(y^4 \cdot xy = xy^5\)[/tex]
Ahora, sumamos todos estos términos:
[tex]\[
x^6 + (-2x^4y^2) + x^5y + (-x^5y) + 2x^3y^3 + (-x^4y^2) + x^4y^2 + (-2x^2y^4) + x^3y^3 + (-x^3y^3) + 2xy^5 + (-x^2y^4) + x^2y^4 + (-2y^6) + xy^5
\][/tex]
Simplificamos los términos semejantes:
1. Los términos con [tex]\(x^6\)[/tex]: [tex]\(x^6\)[/tex]
2. Los términos con [tex]\(x^5y\)[/tex]: [tex]\(x^5y - x^5y = 0\)[/tex]
3. Los términos con [tex]\(x^4y^2\)[/tex]: [tex]\(-2x^4y^2 + x^4y^2 - x^4y^2 + x^4y^2 = -2x^4y^2\)[/tex]
4. Los términos con [tex]\(x^3y^3\)[/tex]: [tex]\(2x^3y^3 + x^3y^3 - x^3y^3 = 2x^3y^3\)[/tex]
5. Los términos con [tex]\(x^2y^4\)[/tex]: [tex]\(-2x^2y^4 - x^2y^4 + x^2y^4 = -2x^2y^4\)[/tex]
6. Los términos con [tex]\(xy^5\)[/tex]: [tex]\(2xy^5 + xy^5 = 3xy^5\)[/tex]
7. Los términos con [tex]\(y^6\)[/tex]: [tex]\(-2y^6\)[/tex]
Finalmente, el resultado simplificado es:
[tex]\[
x^6 - 2x^4y^2 + 2x^3y^3 - 2x^2y^4 + 3xy^5 - 2y^6
\][/tex]
Así, hemos resuelto el producto de los polinomios dados.
