Answer :
Vamos a verificar si los puntos dados son soluciones de los sistemas de ecuaciones propuestos y a encontrar las soluciones gráficas para otros sistemas de ecuaciones lineales.
### Verificación de soluciones dadas
#### Problema 209
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2 x - 5 y = -3 \\ 4 x + 2 y = 7 \end{array}\right. \][/tex]
Punto dado: [tex]\((1, 1)\)[/tex]
Sustituyente el punto (1, 1) en ambas ecuaciones:
- Para la primera ecuación [tex]\(2 x - 5 y = -3\)[/tex]:
[tex]\[ 2(1) - 5(1) = 2 - 5 = -3 \quad \text{(Verdadero)} \][/tex]
- Para la segunda ecuación [tex]\(4 x + 2 y = 7\)[/tex]:
[tex]\[ 4(1) + 2(1) = 4 + 2 = 6 \quad \text{(Falso, debería ser 7)} \][/tex]
El punto [tex]\((1, 1)\)[/tex] no es solución del sistema de ecuaciones, ya que cumple la primera pero no la segunda ecuación.
#### Problema 210
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 3 \\ -2 x + y = -5 \end{array}\right. \][/tex]
Punto dado: [tex]\((2, -1)\)[/tex]
Sustituyente el punto (2, -1) en ambas ecuaciones:
- Para la primera ecuación [tex]\(3 x + 2 y = 3\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 2(-1) = 6 - 2 = 4 \quad \text{(Falso, debería ser 3)} \][/tex]
- Para la segunda ecuación [tex]\(-2 x + y = -5\)[/tex]:
[tex]\[ -2(2) + (-1) = -4 - 1 = -5 \quad \text{(Verdadero)} \][/tex]
El punto [tex]\((2, -1)\)[/tex] no es solución del sistema de ecuaciones, ya que cumple la segunda pero no la primera ecuación.
### Solución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales
#### Problema 211
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} y = 2x + 1 \\ 2 y = x + 8 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = (2, 5) \][/tex]
#### Problema 214
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 3 x - 1 = y \\ 2 x - y = -1 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = (2, 5) \][/tex]
#### Problema 212
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ 2 x - 4 y = -1 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema es:
[tex]\[ \text{No tiene solución. (Sistema inconsistente)} \][/tex]
#### Problema 215
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2 x + 1 = 3 y \\ 2 x - 3 y = 5 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ \text{No tiene solución. (Sistema inconsistente)} \][/tex]
#### Problema 213
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 8 x - 2 y - 10 = 0 \\ 3 x - 3 y - 15 = 0 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = (0, -5) \][/tex]
#### Problema 216
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} y - 4 = 2 x \\ 6 y - 12 x = 24 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = \left(\frac{y}{2} - 2\right) \][/tex]
Esto implica que cada valor de [tex]\(y\)[/tex] se puede expresar en términos de [tex]\(x\)[/tex] como [tex]\(\left(\frac{y}{2} - 2\right)\)[/tex].
### Verificación de soluciones dadas
#### Problema 209
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2 x - 5 y = -3 \\ 4 x + 2 y = 7 \end{array}\right. \][/tex]
Punto dado: [tex]\((1, 1)\)[/tex]
Sustituyente el punto (1, 1) en ambas ecuaciones:
- Para la primera ecuación [tex]\(2 x - 5 y = -3\)[/tex]:
[tex]\[ 2(1) - 5(1) = 2 - 5 = -3 \quad \text{(Verdadero)} \][/tex]
- Para la segunda ecuación [tex]\(4 x + 2 y = 7\)[/tex]:
[tex]\[ 4(1) + 2(1) = 4 + 2 = 6 \quad \text{(Falso, debería ser 7)} \][/tex]
El punto [tex]\((1, 1)\)[/tex] no es solución del sistema de ecuaciones, ya que cumple la primera pero no la segunda ecuación.
#### Problema 210
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 3 \\ -2 x + y = -5 \end{array}\right. \][/tex]
Punto dado: [tex]\((2, -1)\)[/tex]
Sustituyente el punto (2, -1) en ambas ecuaciones:
- Para la primera ecuación [tex]\(3 x + 2 y = 3\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 2(-1) = 6 - 2 = 4 \quad \text{(Falso, debería ser 3)} \][/tex]
- Para la segunda ecuación [tex]\(-2 x + y = -5\)[/tex]:
[tex]\[ -2(2) + (-1) = -4 - 1 = -5 \quad \text{(Verdadero)} \][/tex]
El punto [tex]\((2, -1)\)[/tex] no es solución del sistema de ecuaciones, ya que cumple la segunda pero no la primera ecuación.
### Solución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales
#### Problema 211
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} y = 2x + 1 \\ 2 y = x + 8 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = (2, 5) \][/tex]
#### Problema 214
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 3 x - 1 = y \\ 2 x - y = -1 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = (2, 5) \][/tex]
#### Problema 212
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ 2 x - 4 y = -1 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema es:
[tex]\[ \text{No tiene solución. (Sistema inconsistente)} \][/tex]
#### Problema 215
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2 x + 1 = 3 y \\ 2 x - 3 y = 5 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ \text{No tiene solución. (Sistema inconsistente)} \][/tex]
#### Problema 213
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 8 x - 2 y - 10 = 0 \\ 3 x - 3 y - 15 = 0 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = (0, -5) \][/tex]
#### Problema 216
Sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} y - 4 = 2 x \\ 6 y - 12 x = 24 \end{array}\right. \][/tex]
La solución gráfica de este sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = \left(\frac{y}{2} - 2\right) \][/tex]
Esto implica que cada valor de [tex]\(y\)[/tex] se puede expresar en términos de [tex]\(x\)[/tex] como [tex]\(\left(\frac{y}{2} - 2\right)\)[/tex].
