La ecuación de una hipérbola centrada en el origen con vértices en [tex]$( \pm a, 0)$[/tex] y focos en [tex]$( \pm c, 0)$[/tex] es de la forma:
[tex]\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\][/tex]
Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos siguientes:
1. Identificar los parámetros dados:
- Los vértices están en [tex]$( \pm \sqrt{61}, 0)$[/tex], lo que nos dice que [tex]\( a^2 = 61 \)[/tex].
- Los focos están en [tex]$( \pm \sqrt{98}, 0)$[/tex], lo que nos dice que [tex]\( c^2 = 98 \)[/tex].
2. Relación entre [tex]\(a^2\)[/tex], [tex]\(b^2\)[/tex] y [tex]\(c^2\)[/tex]:
- En una hipérbola, la relación entre [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] está dada por la fórmula [tex]\( c^2 = a^2 + b^2 \)[/tex].
- Sustituyendo los valores dados:
[tex]\[
98 = 61 + b^2
\][/tex]
3. Resolver para [tex]\(b^2\)[/tex]:
[tex]\[
b^2 = 98 - 61
\][/tex]
[tex]\[
b^2 = 37
\][/tex]
4. Escribir la ecuación de la hipérbola:
- Ahora tenemos [tex]\( a^2 = 61 \)[/tex] y [tex]\( b^2 = 37 \)[/tex]. Sustituimos estos valores en la forma estándar de la ecuación de la hipérbola:
[tex]\[
\frac{x^2}{61} - \frac{y^2}{37} = 1
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, vértices en [tex]\( ( \pm \sqrt{61}, 0) \)[/tex] y focos en [tex]\( ( \pm \sqrt{98}, 0) \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{\frac{x^2}{61} - \frac{y^2}{37} = 1}
\][/tex]
