Claro, vamos a encontrar la ecuación de la hipérbola paso a paso.
1. Identificación de los valores de los vértices y focos:
- Los vértices están en [tex]\(( \pm \sqrt{7}, 0)\)[/tex]. La distancia desde el centro a cada vértice es [tex]\(\sqrt{7}\)[/tex].
- Los focos están en [tex]\(( \pm \sqrt{27}, 0)\)[/tex]. La distancia desde el centro a cada foco es [tex]\(\sqrt{27}\)[/tex].
2. Relación de los parámetros de la hipérbola:
Para las hiperbolas, la ecuación tiene la forma [tex]\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)[/tex], si la hipérbola es horizontal.
- [tex]\(a\)[/tex] es la distancia desde el centro a los vértices. Entonces, [tex]\(a = \sqrt{7}\)[/tex].
- [tex]\(c\)[/tex] es la distancia desde el centro a los focos. Entonces, [tex]\(c = \sqrt{27}\)[/tex].
- También sabemos que en una hipérbola, [tex]\(c^2 = a^2 + b^2\)[/tex].
3. Cálculo de [tex]\(a^2\)[/tex] y [tex]\(c^2\)[/tex]:
- [tex]\(a^2 = (\sqrt{7})^2 = 7\)[/tex]
- [tex]\(c^2 = (\sqrt{27})^2 = 27\)[/tex]
4. Determinación de [tex]\(b^2\)[/tex] usando la relación [tex]\(c^2 = a^2 + b^2\)[/tex]:
[tex]\[
c^2 = a^2 + b^2
\][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[
27 = 7 + b^2
\][/tex]
Despejamos [tex]\(b^2\)[/tex]:
[tex]\[
b^2 = 27 - 7
\][/tex]
[tex]\[
b^2 = 20
\][/tex]
5. Formulación de la ecuación de la hipérbola:
La ecuación de la hipérbola es:
[tex]\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\(a^2\)[/tex] y [tex]\(b^2\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{20} = 1
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola con los vértices y focos indicados es:
[tex]\[
\boxed{\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{20} = 1}
\][/tex]
