Para determinar los focos de una elipse cuya ecuación es:
[tex]\[
\frac{(x+9)^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1
\][/tex]
Primero, debemos reconocer que esta ecuación tiene la forma genérica de una elipse centrada en [tex]\((h,k)\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1
\][/tex]
A partir de la ecuación dada, identifiquemos los parámetros:
- [tex]\( (x+9) \)[/tex]: Esto indica que [tex]\( h = -9 \)[/tex].
- El término [tex]\( y^2 \)[/tex] no tiene desplazamiento, por lo tanto [tex]\( k = 0 \)[/tex].
- El denominador del término [tex]\((x+9)^2\)[/tex] es 100, por lo tanto [tex]\( a^2 = 100 \)[/tex] y [tex]\( a = \sqrt{100} = 10 \)[/tex].
- El denominador del término [tex]\( y^2 \)[/tex] es 64, por lo tanto [tex]\( b^2 = 64 \)[/tex] y [tex]\( b = \sqrt{64} = 8 \)[/tex].
Con estos valores, ahora usamos la fórmula para la distancia de los focos desde el centro, [tex]\( c \)[/tex], que se define como:
[tex]\[
c = \sqrt{a^2 - b^2}
\][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( a^2 \)[/tex] y [tex]\( b^2 \)[/tex]:
[tex]\[
c = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6
\][/tex]
Los focos de la elipse estarán localizados a una distancia [tex]\( c \)[/tex] del centro (h,k) a lo largo del eje mayor. En este caso, dado que el eje mayor está en la dirección [tex]\( x \)[/tex] alrededor del centro [tex]\((-9, 0)\)[/tex], los focos son:
[tex]\[
(h - c, k) \text{ y } (h + c, k)
\][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\( h, k \)[/tex] y [tex]\( c \)[/tex]:
[tex]\[
(-9 - 6, 0) = (-15, 0) \text{ y } (-9 + 6, 0) = (-3, 0)
\][/tex]
Entonces, los focos de la elipse son:
[tex]\[
\boxed{(-15, 0) \text{ y } (-3, 0)}
\][/tex]
La respuesta correcta es la opción (A):
(A) [tex]\((-15,0)\)[/tex] y [tex]\((-3,0)\)[/tex]
