Claro, vamos a resolver este problema paso a paso usando la metodología del paralelogramo. Vamos a descomponer cada uno de los movimientos del excursionista en sus componentes en el eje [tex]\(x\)[/tex] (horizontal) y en el eje [tex]\(y\)[/tex] (vertical).
### Primer Movimiento
El excursionista se desplaza 500 metros a una dirección de [tex]\(30^\circ\)[/tex] al noroeste.
Para trabajar en el sistema cartesiano, sabiendo que el noroeste es [tex]\(30^\circ\)[/tex] hacia la izquierda del norte, esto se puede interpretar como [tex]\(150^\circ\)[/tex] (medido en sentido antihorario desde el este positivo).
Descomponemos este movimiento en componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex] usando las funciones trigonométricas seno y coseno:
[tex]\[
x_1 = 500 \cos(150^\circ)
\][/tex]
[tex]\[
y_1 = 500 \sin(150^\circ)
\][/tex]
### Segundo Movimiento
El excursionista luego se desplaza 300 metros a una dirección de [tex]\(60^\circ\)[/tex] al noreste.
El noreste es una dirección de [tex]\(60^\circ\)[/tex] respecto al eje positivo del este. Entonces descomponemos este movimiento en componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
x_2 = 300 \cos(60^\circ)
\][/tex]
[tex]\[
y_2 = 300 \sin(60^\circ)
\][/tex]
### Tercer Movimiento
Finalmente, camina 200 metros hacia el sur.
El sur es [tex]\(270^\circ\)[/tex] desde el este positivo. Descomponemos este movimiento en componentes [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
x_3 = 200 \cos(270^\circ)
\][/tex]
[tex]\[
y_3 = 200 \sin(270^\circ)
\][/tex]
### Sumando los Componentes de Todo Movimiento
Sumamos todas las componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] para encontrar la posición final del excursionista respecto al campamento:
[tex]\[
x_{\text{total}} = x_1 + x_2 + x_3
\][/tex]
[tex]\[
y_{\text{total}} = y_1 + y_2 + y_3
\][/tex]
### Calculando la Distancia desde el Campamento
La distancia desde el campamento hasta la posición final del excursionista se halla usando el teorema de Pitágoras:
[tex]\[
\text{distancia final} = \sqrt{x_{\text{total}}^2 + y_{\text{total}}^2}
\][/tex]
### Resultados Numéricos
Ahora, introducimos los valores numéricos calculados:
1. Para el primer movimiento:
[tex]\[
x_1 = -433.01, \quad y_1 = 250.00
\][/tex]
2. Para el segundo movimiento:
[tex]\[
x_2 = 150.00, \quad y_2 = 259.81
\][/tex]
3. Para el tercer movimiento:
[tex]\[
x_3 = 0, \quad y_3 = -200.00
\][/tex]
Sumando las componentes:
[tex]\[
x_{\text{total}} = -433.01 + 150.00 + 0 = -283.01
\][/tex]
[tex]\[
y_{\text{total}} = 250.00 + 259.81 - 200.00 = 309.81
\][/tex]
Finalmente, la distancia desde el campamento es:
[tex]\[
\text{distancia final} = \sqrt{(-283.01)^2 + (309.81)^2} \approx 419.62 \text{ metros}
\][/tex]
Por lo tanto, el excursionista se encuentra a aproximadamente 419.62 metros de su campamento.
