¡Claro! Resolveremos paso a paso cada una de las multiplicaciones de fracciones algebraicas que se nos han planteado.
a.
[tex]\[
\frac{-18 x^3 y^5}{32 x^2 y^3} \cdot \frac{12 x^6}{9 y^5} = \frac{-18 x^3 y^5 \cdot 12 x^6}{32 x^2 y^3 \cdot 9 y^5}
\][/tex]
Si simplificamos y multiplicamos términos semejantes, obtenemos:
[tex]\[
\frac{-3 x^7}{4 y^3}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{-18 x^3 y^5}{32 x^2 y^3} \cdot \frac{12 x^6}{9 y^5} = \frac{-3 x^7}{4 y^3}
\][/tex]
b.
[tex]\[
\frac{x-2}{5 x-5} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4}
\][/tex]
Simplificando cada fracción y multiplicando, obtenemos:
[tex]\[
\frac{(x-2)}{5(x-1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)(x+1)}{5(x-2)(x+2)}
\][/tex]
Simplificamos cancelando el término común [tex]\( (x-2) \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{(x+1)}{5(x+2)}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{x-2}{5 x-5} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4} = \frac{x+1}{5(x+2)}
\][/tex]
c.
[tex]\[
\frac{2 x-6}{x^2+4 x+3} \cdot \frac{x^2+6 x+9}{x^2-9}
\][/tex]
Simplificamos cada expresión:
[tex]\[
\frac{2(x-3)}{(x+3)(x+1)} \cdot \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}
\][/tex]
Multiplicamos y simplificamos los términos semejantes:
[tex]\[
\frac{2(x-3) \cdot (x+3)^2}{(x+1)(x+3)(x-3)} = \frac{2(x+3)}{x+1}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{2 x-6}{x^2+4 x+3} \cdot \frac{x^2+6 x+9}{x^2-9} = \frac{2}{x+1}
\][/tex]
d.
[tex]\[
\frac{x^2-8 x+15}{x^2+7 x+12} \cdot \frac{x^2-49}{x^2-25}
\][/tex]
Simplificamos cada fracción:
[tex]\[
\frac{(x-3)(x-5)}{(x+3)(x+4)} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{(x+5)(x-5)}
\][/tex]
Multiplicamos y simplificamos los términos semejantes:
[tex]\[
\frac{(x-3)(x-5)(x-7)(x+7)}{(x+3)(x+4)(x+5)(x-5)} = \frac{(x^2-49)(x^2-8 x +15)}{(x^2-25)(x^2+7 x +12)}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{x^2-8 x+15}{x^2+7 x+12} \cdot \frac{x^2-49}{x^2-25} = \frac{(x^2-49)(x^2-8 x +15)}{(x^2-25)(x^2+7 x +12)}
\][/tex]
e.
[tex]\[
\frac{x^2-x-6}{x+2} \cdot \frac{x-1}{x^2-4 x+3}
\][/tex]
Simplificando cada fracción:
[tex]\[
\frac{(x-3)(x+2)}{x+2} \cdot \frac{x-1}{(x-1)(x-3)} = 1
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{x^2-x-6}{x+2} \cdot \frac{x-1}{x^2-4 x+3}= 1
\][/tex]
f.
[tex]\[
\frac{x^2-36}{x-4} \cdot \frac{x^2-16}{x^2-2 x-24}
\][/tex]
Simplificamos cada fracción:
[tex]\[
\frac{(x+6)(x-6)}{x-4} \cdot \frac{(x+4)(x-4)}{(x+6)(x-4)}
\][/tex]
Multiplicamos y simplificamos los términos semejantes:
[tex]\[
(x + 6)
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{x^2-36}{x-4} \cdot \frac{x^2-16}{x^2-2 x-24} = x + 6
\][/tex]
g.
[tex]\[
\frac{x^2-1}{1} \cdot \frac{4 x^2-36}{2}
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
\frac{(x-1)(x+1)}{1} \cdot \frac{4(x^2-9)}{2} = (x-1)(x+1) \cdot 2(x^2-9) = 2(x^2-9)(x^2-1)
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\frac{x^2-1}{1} \cdot \frac{4 x^2-36}{2} = 2(x^2-9)(x^2-1)
\][/tex]
De esta manera, hemos encontrado el producto de cada una de las multiplicaciones de fracciones algebraicas:
a.
[tex]\[
\frac{-3 x^7}{4 y^3}
\][/tex]
b.
[tex]\[
\frac{x+1}{5(x+2)}
\][/tex]
c.
[tex]\[
\frac{2}{x+1}
\][/tex]
d.
[tex]\[
\frac{(x^2-49)(x^2-8 x +15)}{(x^2-25)(x^2+7 x +12)}
\][/tex]
e.
[tex]\[
1
\][/tex]
f.
[tex]\[
x+6
\][/tex]
g.
[tex]\[
2(x^2-9)(x^2-1)
\][/tex]
