Calculate two two-digit natural numbers whose ratio is [tex]\frac{7}{2}[/tex], and such that the units digits are the same while the tens digits differ by 3.
Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:
1. Identificación de los Números: Llamemos a los dos números de dos cifras [tex]\(10a + b\)[/tex] y [tex]\(10c + b\)[/tex], donde [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] son las cifras de las decenas y [tex]\(b\)[/tex] es la cifra de las unidades.
2. Razón entre los números: Según el problema, la razón entre estos números es [tex]\(\frac{7}{2}\)[/tex], lo que nos lleva a la ecuación: [tex]\[
\frac{10a + b}{10c + b} = \frac{7}{2}
\][/tex] Multiplicamos ambos lados por [tex]\(2(10c + b)\)[/tex] para eliminar el denominador: [tex]\[
2(10a + b) = 7(10c + b)
\][/tex] Desarrollamos: [tex]\[
20a + 2b = 70c + 7b
\][/tex] Reorganizamos los términos para despejar: [tex]\[
20a - 70c = 7b - 2b
\][/tex] [tex]\[
20a - 70c = 5b
\][/tex]
3. Diferencia en las cifras de las decenas: Nos dicen que las cifras de las decenas difieren en 3: [tex]\[
a = c + 3
\][/tex]
4. Sustitución: Sustituimos [tex]\(a\)[/tex] en la ecuación [tex]\(20a - 70c = 5b\)[/tex] utilizando [tex]\(a = c + 3\)[/tex]: [tex]\[
20(c + 3) - 70c = 5b
\][/tex] Desarrollamos: [tex]\[
20c + 60 - 70c = 5b
\][/tex] Simplificamos: [tex]\[
-50c + 60 = 5b
\][/tex] Dividimos todo entre 5: [tex]\[
-10c + 12 = b
\][/tex]
5. Encontrar valores de las cifras: Dado que [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex], y [tex]\(c\)[/tex] deben ser cifras (0 a 9), encontramos valores apropiados para [tex]\(c\)[/tex]: [tex]\[
b = 12 - 10c
\][/tex] Debe ser [tex]\(0 \leq 12 - 10c < 10\)[/tex]: Solucionamos para [tex]\(c\)[/tex]: [tex]\[
0 \leq 12 - 10c < 10
\][/tex] [tex]\[
-1.2 \leq -10c \leq 1.2
\][/tex] [tex]\[
-0.12 \leq c \leq 0.12
\][/tex]
El único valor entero posible para [tex]\(c\)[/tex] es 0, sin embargo necesitamos considerar el rango posible de los dígitos así que verificamos todas posibles soluciones que puedan satisfacer [tex]\( b = 12 - 10c \)[/tex]
Sólo [tex]\(12 - 10c\)[/tex] podría llegar a una conclusión no sumando hasta un dígito.
Con la experiencia numérica nos dice que el b debe ser 2 ó menor verificamos no condición de dígitos.
En este paso concluimos que valores b no coinciden digitos así que la verificación original 0 eliminada y recalcularamos que ningun par refundó las condiciones en preguntas correctas so los pasos resolutivos.
Por tanto los valores calculado correctos presentarando: ``` ningún par único soluciones, llevan concluir en nula.
