Para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos [tex]\((4, -5)\)[/tex] y [tex]\((7, 2)\)[/tex], seguimos estos pasos:
### Paso 1: Calcular la pendiente (m)
La fórmula para la pendiente [tex]\(m\)[/tex] de una línea que pasa por dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex] es:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Tomando los valores dados:
[tex]\[ (x_1, y_1) = (4, -5) \][/tex]
[tex]\[ (x_2, y_2) = (7, 2) \][/tex]
Procedemos a realizar la sustitución:
[tex]\[ m = \frac{2 - (-5)}{7 - 4} = \frac{2 + 5}{7 - 4} = \frac{7}{3} = 2.3333333333333335 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar la ordenada al origen (intercepto)
La ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es:
[tex]\[ y - y_1 = m(x - x_1) \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(y_1 = -5\)[/tex], [tex]\(m = 2.3333333333333335\)[/tex], y [tex]\(x_1 = 4\)[/tex] en la ecuación punto-pendiente, obtenemos:
[tex]\[ y - (-5) = 2.3333333333333335(x - 4) \][/tex]
[tex]\[ y + 5 = 2.3333333333333335(x - 4) \][/tex]
Despejamos [tex]\(y\)[/tex] para poner la ecuación en forma pendiente-ordenada ([tex]\(y = mx + b\)[/tex]):
[tex]\[ y + 5 = 2.3333333333333335x - 2.3333333333333335 \cdot 4 \][/tex]
[tex]\[ y + 5 = 2.3333333333333335x - 9.333333333333334 \][/tex]
[tex]\[ y = 2.3333333333333335x - 9.333333333333334 - 5 \][/tex]
[tex]\[ y = 2.3333333333333335x - 14.333333333333334 \][/tex]
### Resultado Final
La ecuación de la recta que pasa por los puntos [tex]\((4, -5)\)[/tex] y [tex]\((7, 2)\)[/tex] es:
[tex]\[ y = 2.3333333333333335x - 14.333333333333334 \][/tex]
