Vamos a reducir la expresión dada [tex]\( M \)[/tex] paso a paso:
[tex]$
M = \frac{\operatorname{tg} 3x - 3 \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg}^3 x} - \frac{7 + 3 \operatorname{tg}^2 x}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x}
$[/tex]
Primero, necesitamos simplificar los términos de la expresión. Comencemos con la primera fracción:
[tex]$
\frac{\operatorname{tg} 3x - 3 \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg}^3 x}
$[/tex]
Para simplificar este término, utilizamos la fórmula de la tangente del triple ángulo:
[tex]$
\operatorname{tg} 3x = \frac{3 \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x}
$[/tex]
Sustituyendo esto en la expresión, obtenemos:
[tex]$
\frac{\frac{3 \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x} - 3 \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg}^3 x}
$[/tex]
Combina las expresiones del numerador:
[tex]$
\frac{3 \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x - 3 \operatorname{tg} x (1 - 3 \operatorname{tg}^2 x)}{\operatorname{tg}^3 x (1 - 3 \operatorname{tg}^2 x)}
$[/tex]
Luego, simplifica el numerador:
[tex]$
3 \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^3 x - 3 \operatorname{tg} x + 9 \operatorname{tg}^3 x = 8 \operatorname{tg}^3 x
$[/tex]
Entonces, la primera fracción se reduce a:
[tex]$
\frac{8 \operatorname{tg}^3 x}{\operatorname{tg}^3 x (1 - 3 \operatorname{tg}^2 x)} = \frac{8}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x}
$[/tex]
Ahora la expresión completa es:
[tex]$
M = \frac{8}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x} - \frac{7 + 3 \operatorname{tg}^2 x}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x}
$[/tex]
Porque ambos términos tienen el mismo denominador, podemos combinarlos:
[tex]$
M = \frac{8 - (7 + 3 \operatorname{tg}^2 x)}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x}
$[/tex]
Simplificamos el numerador:
[tex]$
8 - 7 - 3 \operatorname{tg}^2 x = 1 - 3 \operatorname{tg}^2 x
$[/tex]
Entonces,
[tex]$
M = \frac{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 x} = 1
$[/tex]
Por lo tanto, la expresión reducida de [tex]\( M \)[/tex] es:
[tex]$
\boxed{1}
$[/tex]
