Para determinar si existe el límite de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] tiende a 2, debemos examinar los límites laterales de [tex]\( f(x) \)[/tex] a medida que [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 desde la izquierda y desde la derecha. Analicemos cada caso:
1. Límite lateral por la izquierda cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 ([tex]\( x \to 2^- \)[/tex]):
- Dado [tex]\( f(x)=3x-2 \)[/tex] si [tex]\( x<2 \)[/tex],
- Evaluamos este valor en [tex]\( x=2 \)[/tex]:
[tex]\[
\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4.
\][/tex]
2. Límite lateral por la derecha cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 ([tex]\( x \to 2^+ \)[/tex]):
- Dado [tex]\( f(x) = 4x + 2 \)[/tex] si [tex]\( x \geq 2 \)[/tex],
- Evaluamos este valor en [tex]\( x=2 \)[/tex]:
[tex]\[
\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \cdot 2 + 2 = 8 + 2 = 10.
\][/tex]
Podemos observar que los límites laterales no son iguales:
- El límite por la izquierda es 4.
- El límite por la derecha es 10.
Dado que estos dos límites laterales no son iguales, concluimos que el límite de [tex]\( f(x) \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] tiende a 2 no existe.
