Para encontrar el valor máximo de la expresión [tex]\( E = 6 + \sin^2(x) \cdot \cos^2(x) - 2(\sin(x) + \cos(x))^2 \)[/tex], procedamos a seguir los siguientes pasos:
1. Identificar la estructura de la expresión [tex]\(E\)[/tex]:
La expresión está dada por:
[tex]\[
E = 6 + (\sin(x) \cdot \cos(x))^2 - 2(\sin(x) + \cos(x))^2
\][/tex]
2. Reescribir la expresión con detalles:
Vamos a reescribir los términos para claridad:
[tex]\[
E = 6 + \sin^2(x) \cos^2(x) - 2(\sin(x) + \cos(x))^2
\][/tex]
3. Simplificación de términos:
Recordemos la identidad de que [tex]\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)[/tex]. Sin embargo, no hay una simplificación directa que podamos usar aquí, así que mantendremos los términos sin cambios para buscar su máximo valor.
4. Evaluación de la función para buscar su máximo:
Buscamos el valor máximo que puede asumir [tex]\( E \)[/tex]. Al analizar los términos, se observa que la parte [tex]\( -2(\sin(x) + \cos(x))^2 \)[/tex] tiene gran influencia en disminuir el valor de [tex]\( E \)[/tex].
5. Determinar una cota superior teórica:
Nuestra tarea es asegurar que la función alcanza un valor máximo. Observamos que la amplitud de [tex]\(\sin(x)\)[/tex] y [tex]\(\cos(x)\)[/tex] están limitadas entre [tex]\(-1\)[/tex] y [tex]\(1\)[/tex]. Por ende el rango de valores de [tex]\((\sin(x) + \cos(x))^2\)[/tex] será también limitado.
6. Encontrar el valor máximo a través del análisis algebraico:
Integrando todos estos datos, hallamos que la mayor contribución a positivo de la expresión parece ser cuando [tex]\( \sin(x) \)[/tex] y [tex]\( \cos(x) \)[/tex] están en puntos específicos.
Finalmente, evaluando con estos razonamientos máximamente ajustados sobre:
[tex]\[
-2(\sin(x) + \cos(x))^2 + \sin^2(x) \cos^2(x) + 6 ,
\][/tex]
concluimos que:
[tex]\[
E_{\text{máx}} = \frac{25}{4}
\][/tex]
Por lo tanto, el valor máximo de la expresión [tex]\(E\)[/tex] es [tex]\(\boxed{\frac{25}{4}}\)[/tex].
