Resolver la ecuación:

[tex]\[ 5x^2 + 6x - 8 = 0 \][/tex]

A. [tex]\(-2 ; -\frac{4}{5}\)[/tex]

B. [tex]\(-3 ; \frac{5}{3}\)[/tex]

C. [tex]\(2 ; -\frac{4}{5}\)[/tex]

D. [tex]\(-2 ; \frac{4}{5}\)[/tex]

E. [tex]\(3 ; \frac{5}{3}\)[/tex]



Answer :

Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\(5x^2 + 6x - 8 = 0\)[/tex], seguiremos estos pasos detallados:

1. Formula General para Ecuaciones Cuadráticas:
La forma estándar de una ecuación cuadrática es:
[tex]\[ ax^2 + bx + c = 0 \][/tex]
donde [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] son coeficientes. En este caso, tenemos [tex]\(a = 5\)[/tex], [tex]\(b = 6\)[/tex] y [tex]\(c = -8\)[/tex].

2. Discriminante:
El discriminante de una ecuación cuadrática se encuentra con la fórmula:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ \Delta = 6^2 - 4(5)(-8) = 36 + 160 = 196 \][/tex]

3. Calcular las Raíces:
Utilizamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = 0.8 \][/tex]

Para la otra raíz:
[tex]\[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \][/tex]

4. Resultado Final:
Las raíces de la ecuación [tex]\(5x^2 + 6x - 8 = 0\)[/tex] son:
[tex]\[ x_1 = 0.8 \quad \text{y} \quad x_2 = -2 \][/tex]

Puesto que las opciones de respuesta están en fracciones y números enteros, debemos reconocer que 0.8 es igual a [tex]\(\frac{4}{5}\)[/tex]. Entonces, las raíces son:

[tex]\[ x_1 = \frac{4}{5} \quad \text{y} \quad x_2 = -2 \][/tex]

Por lo tanto, la opción correcta es:

(D) [tex]\(-2 ; \frac{4}{5}\)[/tex]