Para hallar el valor numérico del residuo del polinomio [tex]\( f(x) \)[/tex] al dividirse entre [tex]\( (x + 1) \)[/tex], podemos utilizar el teorema de Bezout. Este teorema nos dice que el residuo de dividir un polinomio [tex]\( f(x) \)[/tex] por un binomio de la forma [tex]\( (x - a) \)[/tex] se puede encontrar evaluando [tex]\( f(x) \)[/tex] en [tex]\( x = a \)[/tex].
Dado el polinomio:
[tex]\[ f(x) = 2x^5 - 10x^3 + 102x - 3 \][/tex]
y el factor:
[tex]\[ (x + 1) \][/tex]
podemos reescribir el factor en la forma [tex]\( (x - a) \)[/tex] donde [tex]\( a = -1 \)[/tex].
Entonces, según el teorema de Bezout, debemos evaluar [tex]\( f(x) \)[/tex] en [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
1. Substituimos [tex]\( x = -1 \)[/tex] en el polinomio [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(-1) = 2(-1)^5 - 10(-1)^3 + 102(-1) - 3 \][/tex]
2. Hacemos los cálculos paso a paso:
[tex]\[ (-1)^5 = -1 \][/tex]
[tex]\[ 2(-1) = -2 \][/tex]
[tex]\[ (-1)^3 = -1 \][/tex]
[tex]\[ -10(-1) = 10 \][/tex]
[tex]\[ 102(-1) = -102 \][/tex]
3. Sustituimos estos valores en la expresión:
[tex]\[ f(-1) = -2 + 10 - 102 - 3 \][/tex]
4. Sumamos los términos:
[tex]\[ f(-1) = -2 + 10 - 102 - 3 = -97 \][/tex]
Así concluimos que el residuo del polinomio [tex]\( f(x) \)[/tex] al dividirse entre [tex]\( (x + 1) \)[/tex] es:
[tex]\[ \boxed{-97} \][/tex]
