Para determinar cuál es la expresión algebraica de la función cuadrática [tex]\( f \)[/tex] que pasa por los puntos dados, vamos a evaluar cada una de las opciones proporcionadas en la pregunta en los puntos [tex]\((0, 6)\)[/tex], [tex]\((2, 0)\)[/tex] y [tex]\((3, 0)\)[/tex].
### Verificación de la opción (A) [tex]\( f(x) = x^2 + 5x + 6 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( f(0) = 0^2 + 5 \cdot 0 + 6 = 6 \)[/tex]. Este punto es correcto.
2. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex], [tex]\( f(2) = 2^2 + 5 \cdot 2 + 6 = 4 + 10 + 6 = 20 \)[/tex]. Este punto no concuerda con [tex]\( f(2) = 0 \)[/tex].
3. Para [tex]\( x = 3 \)[/tex], [tex]\( f(3) = 3^2 + 5 \cdot 3 + 6 = 9 + 15 + 6 = 30 \)[/tex]. Este punto no concuerda con [tex]\( f(3) = 0 \)[/tex].
La función en la opción (A) no es la correcta.
### Verificación de la opción (B) [tex]\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( f(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \)[/tex]. Este punto es correcto.
2. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex], [tex]\( f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \)[/tex]. Este punto es correcto.
3. Para [tex]\( x = 3 \)[/tex], [tex]\( f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \)[/tex]. Este punto es correcto.
La función en la opción (B) es correcta según los puntos dados.
### Verificación de la opción (C) [tex]\( f(x) = x^2 + 2x - 3 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3 \)[/tex]. Este punto no concuerda con [tex]\( f(0) = 6 \)[/tex].
La función en la opción (C) no es la correcta.
### Verificación de la opción (D) [tex]\( f(x) = x^2 - 3x - 2 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 2 = -2 \)[/tex]. Este punto no concuerda con [tex]\( f(0) = 6 \)[/tex].
La función en la opción (D) no es la correcta.
Por lo tanto, la expresión algebraica de la función [tex]\( f \)[/tex] que pasa por los puntos [tex]\((0, 6)\)[/tex], [tex]\((2, 0)\)[/tex] y [tex]\((3, 0)\)[/tex] es [tex]\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \)[/tex].
La respuesta correcta es:
(B) [tex]\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \)[/tex].
