Rezolvare:
Pentru a rezolva această problemă, trebuie mai întâi să determinăm mulțimile [tex]\(A\)[/tex], [tex]\(B\)[/tex], și [tex]\(C\)[/tex], și apoi să efectuăm operațiile de unire și de intersecție indicate.
Definim mulțimile:
- [tex]\(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 8\}\)[/tex]
- [tex]\(B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \vdots 3 \text{ şi } x \leq 24\}\)[/tex]
- [tex]\(C = \left\{x \in \mathbb{N}^+ \mid (x-1) \div 4 \text{ si } x < 27\right\}\)[/tex]
Acestea devin:
- [tex]\(A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)[/tex]
- [tex]\(B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\}\)[/tex]
- [tex]\(C = \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\}\)[/tex]
Acum, să determinăm mulțimile cerute:
a) [tex]\(A \cup B\)[/tex]
- Unind elementele:
[tex]\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 21, 24\}\)[/tex]
b) [tex]\(B \cup C\)[/tex]
- Unind elementele:
[tex]\(\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} \cup \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 21, 22, 24, 26\}\)[/tex]
c) [tex]\(A \cup C\)[/tex]
- Unind elementele:
[tex]\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14, 18, 22, 26\}\)[/tex]
d) [tex]\(A \cup B \cup C\)[/tex]
- Unind elementele:
[tex]\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} \cup \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 21, 22, 24, 26\}\)[/tex]
e) [tex]\(A \cap B\)[/tex]
- Intersecția elementelor:
[tex]\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cap \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} = \{3, 6\}\)[/tex]
f) [tex]\(A \cap C\)[/tex]
- Intersecția elementelor:
[tex]\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cap \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{2, 6\}\)[/tex]
g) [tex]\(B \cap C\)[/tex]
- Intersecția elementelor:
[tex]\(\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} \cap \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{18, 6\}\)[/tex]
h) [tex]\(A \cap B \cap C\)[/tex]
- Intersecția elementelor:
[tex]\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cap \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} \cap \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{6\}\)[/tex]
i) [tex]\(A \cup (B \cap C)\)[/tex]
- Unind [tex]\(A\)[/tex] cu intersecția [tex]\(B\)[/tex] și [tex]\(C\)[/tex]:
[tex]\( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{6, 18\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18\}\)[/tex]
j) [tex]\((A \cup B) \cap C\)[/tex]
- Unind [tex]\(A\)[/tex] și [tex]\(B\)[/tex], apoi intersectând cu [tex]\(C\)[/tex]:
[tex]\((\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{3, 9, 12, 15, 18, 21, 24\}) \cap \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} = \{2, 18, 6\}\)[/tex]
k) [tex]\((A \cap B) \cup (B \cap C)\)[/tex]
- Intersectând [tex]\(A\)[/tex] și [tex]\(B\)[/tex], apoi unind cu intersecția [tex]\(B\)[/tex] și [tex]\(C\)[/tex]:
[tex]\((\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cap \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\}) \cup (\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24\} \cap \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\})= (\{3, 6\}) \cup (\{6, 18\}) = \{3, 6, 18\}\)[/tex]
l) [tex]\(A \cup (B \cap \varnothing)\)[/tex]
- Intersecția [tex]\(B\)[/tex] și [tex]\(\varnothing\)[/tex] este [tex]\(\varnothing\)[/tex], deci:
[tex]\(A \cup \varnothing = A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)[/tex]
Astfel, am calculat elementele mulțimilor cerute utilizând definițiile și operațiile corecte.
